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Universität/Hochschule Newton-Verfahren : Abschätzung zeigen
mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Hallo,

die Iterationsvorschrift des Newtonverfahenns  zur Berechnung von $a^{1/n}$ mit $a>0$ ist $x_{k+1}=\left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{nx_k^{n-1}}$.

Für $x_0\geq a^{1/n}$konvergiert das Verfahren monoton gegen die Wurzel.

Ich will folgende Abschätzung zeigen:
$x_{k+1}-a\leq \frac{n-1}{n}\left (x_k-a\right )$


Ich habe folgendes gemacht:

$x_{k+1}=\left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{nx_k^{n-1}} \leq \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{n\left (a^{1/n}\right )^{n-1}}   = \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{na^{1-\frac{1}{n}}}    = \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a^{\frac{1}{n}}}{n}$

Ich habe die Ungleichung $x_k\geq a^{1/n}$ angewendet und so $\frac{1}{x_k}\leq \frac{1}{a^{1/n}}$.


Wenn $a\geq 1$ dann $a^{1/n}\leq a$ und so $x_{k+1}\leq \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{n}$.

Wenn wir auf beide Seiten "$a$" subtrahieren bekommen wir $x_{k+1}-a\leq \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{n}-a=\left (1-\frac{1}{n}\right )x_k-\left (1-\frac{1}{n}\right )a=\left (1-\frac{1}{n}\right )(x_k-a)$  

Ist dieser Fall richtig?


Wenn $a< 1$ dann $x_{k+1}=\left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a}{nx_k^{n-1}} \leq \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{1}{nx_k^{n-1}}  \leq \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{1}{n\left (a^{1/n}\right )^{n-1}}   = \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{1}{na^{1-\frac{1}{n}}}    = \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a^{\frac{1}{n}-1}}{n}  = \left (1-\frac{1}{n}\right )x_k+\frac{a^{\frac{1-n}{n}}}{n}$

Ist es bisher richtig? Wie kann man hier weiter machen?

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