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  Nullstellen und Polstellen einer rationalen Funktion |
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Spedex
Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 537
Herkunft: f(x=0)=1/x
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Hallo, folgende Aufgabenstellung:
Wobei es jetzt um b) geht.
Ich dachte mir, dass diese Funktion eine Nullstelle hat, sobald der Zähler gleich 0 entspricht. Und ich dachte die Funktion hätte eine Polstelle, sprich wäre an einem Punkt nicht definiert, sobald der Nenner gleich 0 entspricht.
Bei den Polstellen würde man dann auf folgendes kommen:
\[\left\{-3,3,4\right\}\]
Bei den Nullstellen auf folgendes:
\[\left\{-3,3\right\}\]
Hier sieht man dann schon recht gut, dass meine Theorie nicht ganz passen kann, denn es gibt hier Zahlenwerte, bei welchen man dann eine Nullstelle und zugleich eine Polstelle hätte.
Die Funktion sieht geplottet so aus:
Sprich eine Nullstelle bei -3 und eine Polstelle bei 4. Im Internet habe ich gelesen, eine rationale Funktion habe eine Nullstelle, sobald der Zähler gleich 0 ist und der Nenner dabei jedoch nicht 0 ist. Auch das kann ja hier irgendwie nicht passen, denn bei -3 wäre der Zähler als auch der Nenner gleich 0.
Könnt ihr mir hierbei weiterhelfen?
Liebe Grüße
Spedex
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29
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Hallo
Nullstellen hat die Funktion keine. Wenn man f(x)=0 setzt, erhält man zwar +-3 als Lösung, aber eine Stelle kann nur dann Nullstelle sein, wenn sie im Definitionsbereich ist. Nicht jede Lücke ist eine Polstelle, es gibt noch hebbare Lücken. Polstellen kürzen sich nicht weg.
Gruß Caban
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Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 537
Herkunft: f(x=0)=1/x
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Hallo, danke für deine Antwort.
Das heißt bei -3 schaut es zwar so aus als gebe es eine Nullstelle, wenn man jedoch sinnbildlich (!) ganz genau ran zoomen würde, hätte die Funktion bei -3 eine Lücke und überspringt sozusagen die Nullstelle?
Und die Lücke bei 4 ist eine Polstelle, da hier kein potenzielle Nullstelle wäre, lässt sich das so sagen?
Bei +3 ist ebenfalls eine kleine Lücke. Warum bei +3 jedoch keine "scheinbare" Nullstelle ist und bei -3 schon, lässt sich nicht allgemein sagen, richtig?
LG
Spedex
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dietmar0609
Senior
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 3028
Herkunft: Oldenburg , Deutschland
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-29
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Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 537
Herkunft: f(x=0)=1/x
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Stehen die beiden Aussagen von dietmar0609 und Caban nicht etwas im Konflikt?
Ist es nun bei -3 definiert oder nicht?
Und vor allem, wieso kommt man auf unterschiedliche Lösungen, wenn man es kürzt oder eben nicht kürzt?
LG
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5748
Herkunft: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,
ein Denkfehler, der immer wieder gerne begangen wird und der dir hier auch unterläuft, ist der folgende: dass nämlich die ursprüngliche Funktion und die gekürzte Variante identisch sind.
Mache dir nochmal klar, dass eine Funktion nicht nur aus einem Funktionsterm besteht, sondern ein Tripel ist bestehend aus:
- Definitionsmenge
- Zielmenge
- Zuordnungsvorschrift (Funktionsterm)
Nur wenn zwei Funktionen in allen drei Punkten übereinstimmen, sind sie gleich. Da du hier automatisch für jeden Term den maximal möglichen Definitionsbereich annimmst (wie aus der Schule gewohnt), kann das hier nur zu Missverständnissen führen.
Auf der Menge \(\IR\setminus\lbrace -3,3,4\rbrace\) ist die ursprüngliche Funktion mit der gekürzten aus Beitrag #3 identisch. An den beiden Stellen \(x=-3\) und \(x=3\) ist jedoch die Funktion aus dem Themenstart überhaupt nicht definiert.
Also sagt die Nullstelle im Funktionsterm von dietmar0609 dir hier nichts aus (zumindest eben nicht, dass es eine Nullstelle gibt): denn sie befindet sich an einer Definitionslücke deiner ursprünglichen Funktion. Und diese besitzt, wie schon gesagt wurde, den maximal möglichen Definitionsbereich \(\mathbb{D}=\IR\setminus\lbrace -3,3,4\rbrace\).
Die gekürzte Variante dagegen hat die maximale Definitonsmenge \(\IR\setminus\lbrace 4\rbrace\), und besitzt somit in \(x=-3\) eine Nullstelle.
Es sind eben schlicht und ergreifend zwei unterschiedliche Funktionen, das ist der Kern des Problems bzw. deines Missverständnisses.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-29
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Hallo Hier gibt es keinen Konflikt. -3 ist nicht im DB, weil man dort durch 0 teilt. Das heißt bei -3 ist eine Lücke. Dadurch, dass -3 sich vollständig kürzt liegt dort eine hebbare Lücke vor. Die Ergebnisse sind immer gleich, egal ob man die Aufgabe mit kürzen löst oder anders. Als erstes solltest du aber den DB notieren. Achte darauf, dass es nur darauf ankommt, ob man durch 0 dividiert. Später kommen noch andere Einschränkungen dazu. Bei den NUllstellen musst du f(x)=0 lösen, gefundene Stellen, die nicht im DB sind, sind keine Lösungen der Gleichung. Polstellen sind dann die Lücken, welche nicht hebbar sind.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Spedex
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Ach so, so ist das.
Sehr gut.
Vielen Dank für die Erklärung.
Liebe Grüße
Spedex
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