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Analysis » Topologie » Dimension einer Menge bestimmen
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Universität/Hochschule Dimension einer Menge bestimmen
3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Hallo, ich bin gerade am bearbeiten folgender Übungsaufgabe:



Ich habe dafür einen Satz im Skript gefunden, mit dem die Aufgabe relativ leicht lösbar ist:




Damit könnte ich dann zeigen, dass das Hausdorf Maß der Menge mit \(s \in (0, s_e) = 0 \) ist und mit \(s \in (s_e, \infty ) = \infty \) ist, ich brauche ja jetzt nur noch dass die Dimension der Menge 1 ist zu zeigen, wie kann ich das aber am besten machen?

Vielen Dank für eure Hilfe!



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3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hallo, bekomme leider keine Antworten, wollte es deswegen nochmal versuchen:

kann ich nicht diesen Satz anwenden, und weiß ich dass das Lebesgue Maß mit n=1 der definierten Menge dort oben ≠ 0, unendlich ist?




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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01


Hey,
also mit dem Satz oben muss man ja nur die Hausdorff-Dimension finden. Das Objekt hat intuitiv Dimension 1. Wie du sagtest würde es ausreichen das 1-dimensionale Hausdorffmaß davon auszurechnen und zu sehen, dass es ungleich 0 und $\infty$ ist.
Ich glaube nicht, dass der Satz im zweiten Post hilfreich ist, da wir ja eine Menge aus $\mathbb{R}^2$ haben, aber $\alpha = 1$. Du müsstest also vielleicht andere Sätze benutzen, die niedriger dimensionale Objekte eingebettet in höher dimensionalen Räumen untersuchen (Idee: Maß von kartesische Produkte ist Produkt von den einzelnen Maßen via Fubini(?)).

Aber um ehrlich zu sein, würde ich einfach brute force mit der Definition vom Hausdorffmaß arbeiten, und einfach versuchen zu zeigen, dass das Maß echt zwischen 0 und $\infty$ liegt (oder sogar zu zeigen, dass es 1 ist). Das müsste glaube ich machbar sein (hab es aber nicht selbst nachgerechnet).

Tut mir leid, sind leider keine vollständigen Antworten, da ich außer Übung bin bzgl. Maßtheorie.



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3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hallo! Vielen Dank für deine Antwort! Also kann ich dann einfach annehmen, dass es Dimension 1 hat und das Hausdorff Maß ausrechnen?

Wie müsste ich dass dann ausrechnen, da ich ja nicht weiß wie die Mengen die E überdecken sollen aussehen und wie bilde ich dann das infimum?

Vielen Dank schonmal!



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3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Und wieso hilft uns der zweite Satz nicht weiter? Dadurch dass E kompakt ist ist es auch messbar, wodurch man das Lebesgue Maß anwenden kann und dann haben wir ja L([0,1]), was ja der Einheitswürfel im eindimensionalen ist also =1 und mit dem Satz sehen wir dann dass H^1 (E) = L^1(E) =1 wäre oder?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01


Vielleicht hattet ihr die Flächenformel.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-01



mit dem Satz sehen wir dann dass H^1 (E) = L^1(E) =1 wäre oder?

Ich bin nicht mehr so frisch in dem Gebiet, aber $L^1(E)$ kannst du doch gar nicht bilden, da $E$ eine Teilmenge von $\mathbb{R}^2$ ist und $L^1$ nur Teilmengen von $\mathbb{R}^1$ erlaubt.

Ich gehe gleich auf den ersten Post ein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Edit: Schau mal hier unter ,,Length". Hattet ihr so eine Formel?



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-01


2020-12-01 20:04 - 3marco6 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo! Vielen Dank für deine Antwort! Also kann ich dann einfach annehmen, dass es Dimension 1 hat und das Hausdorff Maß ausrechnen?

Wie müsste ich dass dann ausrechnen, da ich ja nicht weiß wie die Mengen die E überdecken sollen aussehen und wie bilde ich dann das infimum?

Vielen Dank schonmal!

Also annehmen darfst du es natürlich nicht, wir behaupten es nur, weil unser Objekt intuitiv Dimension 1 hat. Demnach vermuten wir, dass die Hausdorffdimension auch 1 ist. Das wollen wir ja beweisen, indem wir das 1-dim. Hausdorffmaß ausrechnen und zeigen, dass es größer 0 aber kleiner unendlich ist.

Beim ausrechnen reicht die Definition mit ein bisschen Argumentation glaube ich. Die Überdeckung ist ja nicht fix, du musst alle Überdeckungen durchgehen! Setz mal die Werte ein, dann muss du nur die Summe der Durchmesser deiner Überdeckung ausrechnen. Zeige, dass sie immer mindestens 1 ist (welche Eigenschaft hat die Funktion $\operatorname{diam}$, die hier hilfreich wäre?) und konstruiere eine Überdeckung mit genau 1. So müsste man als Infimum 1 bekommen usw.



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3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Danke nochmal für die Antworten!
E ist doch aber eine eindimensionale Teilmenge des R^n, kann ich dass dann trotzdem nicht mit dem L^1 Maß berechnen?
Und dies müsste dann doch gelten weil die Dimension des HausdorffMaßes mit der des Lebesgue Maßes übereinstimmmen würde, da n = 1.

Die Formel die du verlinkt hast hatten wir leider noch nicht.

Wir hatten leider bisher keine Eigenschaften der Diamanten Funktion gesehen, nur halt die Definition.

Womit könnte ich dies dann aber überdecken, da wir uns doch dann im eindimensionale befinden, müsste ich es mit eindimensionalen Mengen überdecken, wobei deren Maß auch bekannt ist? Hier würde doch [0,1] gut passen, dies ist doch aber wieder nicht im IR^2 ://



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-01



Danke nochmal für die Antworten!
E ist doch aber eine eindimensionale Teilmenge des R^n, kann ich dass dann trotzdem nicht mit dem L^1 Maß berechnen?
Nein. Schau dir die Definition vom Lebesguemaß an. Das ist das schöne am Hausdorffmaß, dass es so allgemein ist.


Womit könnte ich dies dann aber überdecken, da wir uns doch dann im eindimensionale befinden, müsste ich es mit eindimensionalen Mengen überdecken, wobei deren Maß auch bekannt ist? Hier würde doch [0,1] gut passen, dies ist doch aber wieder nicht im IR^2 ://

Nein wir sind nicht im eindimensionalen. Wir sind in $\IR^2$. Wiederhol am besten nochmal die Definitionen, es erscheint mir, als ob du mit den Objekten noch nicht so vertraut bist. Mal dir die entsprechenden Bilder zu den Definitionen.

Du musst ja zwei Ungleichungen zeigen, einmal $\geq 1$ und einmal $\leq 1$. Eine Ungleichung ist trivial, indem du einfach eine Überdeckung angibst, mit Maß 1. Die andere erfordert bisschen mehr Denkleistung. Du startest mit einer beliebigen Überdeckung. Dann versuch einfach paar geschickte Sachen zu machen, um eine untere Schranke zu bekommen. Tipp: Schneide deine Überdeckung mit $[0,1]\times \lbrace 0\rbrace$, schreibe das um, konstruiere neue Mengen usw. Jetzt bist du dran, mal dir am besten die entsprechenden Bilder immer dazu.



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3marco6
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Danke für die Tipps, ich versuche die mal umzusetzen!



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-02


2020-12-01 22:38 - 3marco6 in Beitrag No. 8 schreibt:
Wir hatten leider bisher keine Eigenschaften der Diamanten Funktion gesehen, nur halt die Definition.

Man misst übrigens nicht die Anzahl der Diamanten sondern eher das Durchmesser.


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ups



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