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Analysis » Folgen und Reihen » Grenzwert unendliche Reihe
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Kein bestimmter Bereich Grenzwert unendliche Reihe
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


$$ p \in  \mathbb{P}:=\lbrace 2,3,5,7,11,13,\dots\rbrace,\;\;p_0=2$$ $$ \Phi=\frac{(1 + \sqrt{5})}{2}\approx 1,618033989$$ Hallo, wie kann man zeigen dass
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{p_{k}\cdot\Phi}= \frac{1}{6}$$ stimmt / nicht stimmt ?

Ist mir beim Rumspielen mit Primzahlen aufgefallen, dass sich der Grenzwert in Richtung 1/6 bewegt.







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Gruß haegar



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29


Klingt ja toll !

Ist das DEINE Vermutung ? Du weißt , dass  

2020-11-29 20:47 - haegar90 im Themenstart schreibt:

$$ \Phi=\frac{(1 + \sqrt{5})}{2}\approx 1,618033989$$

die Relation des Goldenen Schnittes ist ?

Hast du das mit dem PC berrechnet ? Wenn ja, bis zu welchem k hast du das Pgm laufen lassen? Wie ist die Güte der Konvergenz ?

Ich werde es auch mal codieren und dir über den Erfolg berichten.    



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


hallo dietmar0609,

ja, den Goldenen Schnitt kenne ich und meine Vermutung hatte einen Tippfehler (+ statt *) habe es in #0 korrigiert.

Ja, mit einem PC.
Python
from sympy import primerange
phi = (1 + 5 ** (1 / 2)) / 2
print(phi)
P = sorted(list(primerange(0, 1000000)))
p = 0
for k in range(0, len(P)):
    p += (-1) ** k / (P[k] * phi)
print(p)
#1.618033988749895
#0.16662557935167832


Bis später 🙂


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Gruß haegar



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-29


wenn du das + durch ein x ersetzt, führt das zu einer bekannten Reihe:  

(Davenport 1980)

mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html

fed-Code einblenden

Also, alles schon da gewesen .....

Gruss Dietmar



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-29


Hallo haegar90,

ohne tief im Thema zu stecken würde ich mal die Vermutung wagen, dass dies leider nicht stimmt.

Es gilt \(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p_k}=0.26960635197167...\), siehe oeis.org/A078437

Andererseits ist \(\frac{1+\sqrt{5}}{2\cdot6}=0.26967233145831...\) (WolframAlpha)

Ich denke mal, dass beide Zahlen sich tatsächlich nur in den ersten vier Nachkommastellen gleichen, da die Genauigkeit bei OEIS bzw. WolframAlpha recht hoch sein sollte.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.3 begonnen.]



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Ja, das wäre anders auch nicht zu erwarten gewesen 😒😃.

Ich habe ausgehend von der Leibniz-Reihe etwas herumgetüftelt und bin so
darauf gekommen.
Allerdings habe ich es nicht vermocht mir die Aussichtslosigkeit der Vermutung so einfach klar zu machen wie es in #4 gezeigt wird.

Vielen Dank Euch Beiden und einen guten Start in die Woche.  




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Gruß haegar



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-10


Bin jetzt beim Herumprobieren hierauf gekommen.
Es scheint als könnte es passen.

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-e)^n}{(\pi^2)^n}=\frac{\pi^2}{\pi^2+e}\approx0,784055736$$
Würde gerne mal bei OEIS nachsehen, da ja sicher auch dieser Grenzwert bereits bekannt sein wird.
Nur wie läßt sich das in OEIS finden, wie muss dafür die Sucheingabe aussehen ? Sorry, stehe da gerade auf dem Schlauch.


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Gruß haegar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das ist eine geometrische Reihe mit \(q=-\frac{\on{e}}{\pi^2}\). Von daher ist das Resultat nicht weiter erstaunlich (und insbesondere richtig)...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-10


Hallo,

danke, gut zu wissen 🙂.
EDIT: Und nun nach "Wikipedia" auch verstanden der Fall hier: $|q|<1$
       


2020-11-29 23:31 - sonnenschein96 in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo haegar90,
...

Es gilt \(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p_k}=0.26960635197167...\), siehe oeis.org/A078437
...

Mit welcher Eingabe aus den zitierten Infos käme man denn bei OEIS
auf A078437 ohne einen Teil der Reihe selbst einzutippen ?
EDIT: ok, für A078437 ohne "0" 2,6,9,6,0,... geht.


 


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Gruß haegar



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haegar90 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
haegar90 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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