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 b-adische Zahlen: n1 >mn2 |
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gold_mi
Neu 
Dabei seit: 30.11.2020
Mitteilungen: 3
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe zum Beweis oder Widerlegen bekommen, verstehe aber leider die Angabe nicht. Ich wäre dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, was hier "passiert" - den Beweis oder das Widerlegen mache ich dann natürlich selbst 😉
"Seien \(n_1, n_2, b_1, b_2 \in \mathbb{N}\). Die Darstellung von \(n_1\) bezüglich der Basis \(b_2\) und von \(n_2\) bezüglich der Basis \(b_2\) sei für beide Basen die Ziffernfolge \(z_{l-1}z_{l-2}...z_0\).
Sei \(b_1 > b_2\) und \(m \in \mathbb{N}\). Dann existiert ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass folgendes gilt: Ist \(l > N\) und \(z_{l-1} \neq 0\), dann ist \(n_1 > mn_2\)."
Für jeden Tipp wäre ich dankbar 😃
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StrgAltEntf
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30
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Hallo gold_mi,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Das ist wirklich nicht einfach zu verstehen 🙃
Du hast also zwei Zahlen, die in unterschiedlichen Systemen die gleiche Zifferndarstellung haben. Also z. B. 345 ein Mal im Achtersystem (\(b_1=8)\) und ein Mal im Sechsersystem (\(b_2=6)\). Dann wäre \(n_1=229\) und \(n_2=137\), jeweils im Dezimalsystem. \(\ell\) ist hier die Anzahl der Ziffern, bei 345 also \(\ell=3\).
Sei nun \(m\) fest vorgegeben. Die Frage ist, ob stets \(n_1>m\cdot n_2\) gilt, wenn \(\ell\) hinreichend groß ist.
Wenn \(m=1\) gewählt wird, gilt das natürlich, denn es ist \(n_1>n_2\) für jede mindestens zweistellige Zahl. Also kann \(N=1\) gewählt werden.
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gold_mi
Neu
Dabei seit: 30.11.2020
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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Hallo StrgAltEntf!
Danke für die Antwort, das klingt ja alles einmal ganz verständlich. Aber wofür brauche ich dann das N und die Voraussetzung, dass die vorletzte Ziffer nicht 0 sein darf?
So wie ich das jetzt verstehe, ist das dann ja immer der Fall, wenn die gemeinsame Zifferndarstellung mindestens zwei Ziffern hat. Kann ich dann Induktion verwenden, um zu sagen, es gilt, wenn N0 = 1 (da l ja größer sein muss als N) und dann für alle weiteren N + 1?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-30
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2020-11-30 19:14 - gold_mi in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke für die Antwort, das klingt ja alles einmal ganz verständlich. Aber wofür brauche ich dann das N und die Voraussetzung, dass die vorletzte Ziffer nicht 0 sein darf? Das N habe ich in Beitrag #1 ergänzt. Es ist nicht die vorletzte Ziffer, die nicht 0 sein darf, sondern die führende Ziffer.
Wenn die Einschränkung \(z_{\ell-1}\neq0\) nicht gelten würde, könnte man immer Zahlen 00000000001 betrachten. Dann ist immer \(n_1=n_2\) und die Aussage dann offenbar falsch.
Dass es immer mit zwei Ziffern geht, stimmt nur für m = 1. Für größere m müssen wohl mehr Ziffern her.
Ob es mit Induktion geht, weiß ich nicht. Da habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.
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gold_mi
Neu
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Aaaah stimmt, das habe ich falsch gelesen!
Vielen lieben Dank, dann mache ich mich mal auf die Suche nach einem Weg, das zu beweisen 🙂
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Link | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
StrgAltEntf
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01
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2020-12-01 10:18 - gold_mi in Beitrag No. 4 schreibt:
dann mache ich mich mal auf die Suche nach einem Weg, das zu beweisen 🙂 Vielleicht kann man es ja auch widerlegen! Ich würde zunächst mal weitere Beispiele untersuchen, bei denen die Stellenzahl größer ist. \(b_1=8\) und \(b_2=6\) kannst du ja erst mal beibehalten. Gilt dann irgendwann \(n_1>2n_2\)? Gilt irgendwann \(n_1>3n_2\)?
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Themenstart: 2020-11-30