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  Auflösbare Gruppen |
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Student10023
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Guten Tag,
Wir haben folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Sei N ein Normalteiler in G. Zeigen sie:
G ist auflösbar genau dann wenn N und G/N auflösbar sind.
Die Hinrichtung habe ich mittlerweile (wenn auch mühevoll) geschafft. Bei der Rückrichtung komme ich allerdings nicht weiter. Ich muss irgendwie die Normalreihe von N ergänzen. Das einfachste wäre sie einfach mit G zu ergänzen, da ja N ein Normalteiler in G ist, aber dann bleibt die Frage ob G/N abelsch ist und im allgemeinen wird das wohl nicht der Fall sein (sonst wäre ja die zweite Information nutzlos), d.h irgendwie müssen wir die Reihe ergänzen.
In Anlehnung an die Hinrichtung würde ich denken, dass es etwas mit den Urbildern (der Abbildung pi, also die Standart Abbildung von einer Gruppe in die Faktorgruppe) von den Untergruppen, die in der Normalreihe von G/N vorkommen, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das machen soll.
Ich wäre dankbar um eure Hilfe
Viele Grüße
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30
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Tipp: Wie sehen denn die Untergruppen von $G/N$ aus?
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Student10023
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Ich würde mal behaupten, dass alle Untergruppe von G/N die Form U/N haben, wobei U eine Untergruppe von G ist. Ist das so richtig ? Aber inwiefern hilft mir das weiter?
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01
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Es muss $N \subseteq U$ gelten, ja.
Nun, du hast eine Normalreihe von $G/N$ mit abelschen Quotienten. Schreibe dir doch einmal auf, was das bedeutet (in Abhängigkeit von $G$).
Zusammen mit der Normalreihe von $N$ bekommst du dann eine Normalreihe von $G$.
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Student10023
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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da N auflösbar bekomme ich eine Reihe:
e=N0 % N1 % N2 %...... % Nk (dabei bedeutet % ist Normalteiler in und die i=0,1...,k sollen Indizes sein, sorry komme mit dem Formeleditor nicht zurecht ...)
wobei die Faktoren immer abelsch sind und wir haben eine Normalreihe.
Da G/N auflösbar ist haben wir eine Normalreihe:
e=N/N % U1/N ..... % Ul/N = G/N mit Ui ist eine Untergruppe von G und N ist eine Untergruppe in Ui für alle i=1,...,l
d.h wir können jetzt die Normalreihe von G folgendermaßen bilden:
1 = N0 %............% Nk = N % U1 %.....% Ul = G
dabei ist zu beachten, dass die Quotienten Ui/Ui-1 = (Ui/N)/(Ui-1/N) mit Gleichheit ist hier Isomorphie gemeint. Diese Quotienten existieren, da die Linke Seite der Gleichung existiert (insbesondere ist Ui-1 immer Normalteiler in Ui) und sind sind abelsch da die Faktoren nach Vorraussetzung abelsch sind. DIe Gleichheit folgt aus dem dritten Isomorphie Satz, den wir in einer anderen Aufgabe auf dem selben Blatt beweisen sollten ;)
Ist das so richtig ?
Vielen Dank für die Denkanstöße und ich entschuldige mich noch einmal für diese Kryptischen Zeichen..
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01
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Das ist i. W. richtig. Es fehlt $N_k=N$ am Anfang. Und es wäre konsequent, $U_0/N=1$ also $U_0=N$ zu setzen. Nur mit "Diese Quotienten existieren, da die Linke Seite der Gleichung existiert" stimme ich nicht überein. Denke bei dem Schritt noch einmal darüber nach, was gegeben und was zu zeigen ist.
Übrigens kannst du hier LaTeX benutzen. Klicke auf "Quote", um den Code hierdrunter zu sehen.
$1 \subseteq N_0 \subseteq N_1 \subseteq \cdots \subseteq N_k = N \subseteq U_1 \subseteq \cdots \subseteq U_{\ell} = G $
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Student10023
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Ich verstehe nicht ganz warum das so nicht geht, ich weiß, dass die Quotienten meiner Normalreihe abelsch sind, d.h
(U_i / N)/(U_i-1 / N) insbesondere existiert diese Gruppe, da ja das untere ein Normalteiler vom oberen ist (das ist ja gerade die Eigenschaft der Normalreihe). Dieser Quotient entspricht aber:
U_i / U_i-1 somit muss das auch eine abelsche Gruppe sein und dies ist insbesondere genau dann eine Gruppe, wenn U_i-1 ein Normalteiler von U_1 ist.
Was funktioniert an dem Argument nicht ?
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Triceratops
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-01
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Wieso ist denn $U_{i-1}$ ein Normalteiler von $U_i$? Begründe das (für dich; du musst es nicht posten) genau. Was du schreibst, deutet auf ein falsches Argument hin. (Schau dir dazu auch noch einmal die Voraussetzungen für den Isomorphiesatz an, den du benutzt.)
Tipp: Wie sehen allgemein die Normalteiler von $G/N$ aus?
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