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 Beweis der Stetigkeit der Grenzfunktion |
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Rurien9713
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Guten Morgen allerseits,
kann vielleicht jemand einmal über diesen Satz hier drüber gucken und sagen, ob dieser logisch formuliert und vom Inhalt her richtig ist?
Es geht um den Satz: Grenzfunktion f einer auf D aus C glm. konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig auf D.
Hoffe hier auf eure Hilfe:)
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Math_user
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01
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Guten Morgen Rurien9713
Kannst du bitten den Originalwortlaut des Satzes wiedergeben? Ich verstehe nicht ganz, was zu beweisen ist.
Grüsse,
Math_user
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Rurien9713
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Die Grenzfunktion f einer einer auf D aus komplexen Zahlen gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen fn: D--> |C ist stetig auf D.
Also einfach die Stetigkeit der Grenzfunktion bei gleichmäßiger Konvergenz :)
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Math_user
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01
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Vielen Dank. Dein Ziel ist es also, die folgende wichtige Eigenschaft der gleichmässig konvergente Folgen zu zeigen:
Sei $(f_n)$ eine Folge stetiger Funktion und nehme weiter an, dass $f_n : D → \Bbb C$ gleichmässig konvergent ist auf $D \subset \Bbb C$, dann folgt dass die Grenzfunktion $f: D \to \Bbb C$ stetig auf $D$ ist.
Nun der Beweis scheint mir noch unvollständig zu sein, vor allem am Schluss geht zu schnell. Die Idee ist richtig mit der gleichmässigen Konvergenz von $f_n$ zu argumentieren und mit der Dreiecksungleichung.. Schreib es doch nochmals ein weniger konkreter auf.
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Rurien9713
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Ich wollte mittels des Epsilon-Delta-Kriteriums die Stetigkeit hier zeigen und habe es dann so aufgeschrieben.
Am Ende habe ich die Terme nicht mehr zusammen gefasst aber kann es hier noch einmal erläutern.
Der erste Term ist kleiner als Epsilon/3, da es wegen der glm. Konvergenz so def. wurde( oben in meinem Beweis)
Der 2. Term ist kleiner Epsilon/3, da dies aufgrund der Stetigkeit der Funktionenfolgen gilt und ebenfalls oben def. wurde.
Der 3. Term ist kleiner Epsilon/3, da hier wegen der glm. KOnvergenz def. wurde dass es kleiner Epsilon/3 ist für alle x aus D und wir haben hier xo aus D gewählt, d.h. es ist auch hier epsilon/3.
Zusammen ist es also kleiner als Epsilon.
Somit haben wir doch die Stetigkeit nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gezeigt oder nicht?
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Math_user
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01
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Gut, so kannst du argumentieren. Spare nicht an Erklärungen in der Mathematik. 😉
Viele Grüsse,
Math_user
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Rurien9713
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Ja stimmt du hast Recht.
Ich sollte das wahrscheinlich echt etwas schöner aufschreiben. Aber an sich passt der Beweis ja dann so oder?
Danke dir auf jeden Fall für deine Hilfe😄
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Math_user
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-02
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Guten Morgen! Ja, sonst passt der Beweis.
Viele Grüsse,
Math_user
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