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 Beispiel lokal gleichmäßige Konvergenz |
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Rurien9713
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Dabei seit: 27.11.2020
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Hallöchen zusammen,
ich habe hier ein Beispiel für lokal gleichmäßige Konvergenz gesucht.
Ist das so richtig argumentiert und ordentlich bewiesen oder gibt es Stellen, die noch sauberer sein sollten?
Ich hoffe sehr auf eure Hilfe!
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haerter
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01
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Hallo,
Deine Überlegungen gehen eigentlich in die richtige Richtung, bringen das am Ende aber noch nicht richtig auf den Punkt.
Du müsstest zunächst einmal klar sagen, auf welchem Intervall Deine Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergiert.
Dann müsstest Du zu jedem Punkt daraus eine Umgebung finden, auf der die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert und dabei noch beachten, dass die "schlechtere" Konvergenz auch am linken Intervallende auftreten könnte, wenn  nahe  ist.
Grundsätzlich sollte das aber mit diesem Beispiel funktionieren.
Viele Grüße,
haerter
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Rurien9713
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Wie finde ich denn ein Intervall bei dem auch die Grenfunktion f(x)=0 mit enthalten ist?
Also mein Intervall ist [a,b] aus |R mit den oben genannten Eigenschaften. Damit ist doch zumindest der Teil mit der Grenzfunkion f(x)=1 erledigt.
Aber muss ich dann dazu noch eine Umgebung finden für f(x)=0?
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haerter
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01
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Hallo,
mein Einwand wäre hier, dass für ein Intervall [a,b] mit  schon gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge auf [a,b] vorliegt.
Da müsste man dann überhaupt nicht über "lokal gleichmäßig" reden.
Viele Grüße,
haerter
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Rurien9713
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Hm, ja ich merke es auch gerade. Dann hätte ich es ja mittels Cauchy-Kriterium ermitteln können bzw. dann heraus gefunden, dass es für f(x)=1 glm. konvergent ist, aber nicht für f(x)=0.
Hast du denn einen Vorschlag wie man das ganze sonst beweisen könnte?
Oder hättest du ein anderes Beispiel?
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haerter
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01
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Das Problem wird immer auftreten, solange Du ein kompaktes Intervall betrachtest, aber es ist wahrscheinlich nicht verboten, ein offenes Intervall zu betrachten, an dessen Rand ein Problem auftritt.
Dafür gibt es bei Deinem Beispiel sogar verschiedene Möglichkeiten.
Viele Grüße,
haerter
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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
- Linus Pauling
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Rurien9713
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand mal anhand eines Beispiels erklären bzw. beweisen würde.
Das ist auch keine aktuelle Aufgabe oder sonstiges. Ich würde nur gerne einmal das Verfahren dabei sehen.
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haerter
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-01
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Hallo,
man muss hier eigentlich gar nicht mehr viel tun.
Du hast doch (fast, modulo der Geschichte mit linkem und rechtem Rand des Intervalls) gezeigt, dass für Deine Funktionenfolge die Konvergenz zum Beispiel auf jedem Intervall [a,b] mit  gleichmäßig ist.
Daraus folgt praktisch ohne weitere Rechnung, dass die Konvergenz auf  lokal gleichmäßig ist.
Viele Grüße,
haerter
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Rurien9713
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Ok also muss ich dann keine weiteren Rechnungen mehr angeben?
Ich dachte mir würde irendwo noch ein essenzieller Schritt fehlen.
Vielen Dank!
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