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Analysis » Funktionen » Additionstheorem (Sinus) für negatives Argument		Druckversion
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Kein bestimmter Bereich J Additionstheorem (Sinus) für negatives Argument
Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Angenommen, ich habe für positive Winkel $a,~b$ $
\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) +\cos(a)\sin(b)$ bewiesen.

Wie zeige ich dann (möglichst ohne Extrabeweis), dass auch $
\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) -\cos(a)\sin(b)
$ gilt?

Direkte Rechnung zeigt zwar das Gesuchte
$
\sin(a-b) =\sin(a)\cos(-b) +\cos(a)\sin(-b)
=\sin(a)\cos(b) -\cos(a)\sin(b)$, aber ich weiß ja nicht, ob die Formel weiterhin gilt.

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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


Verwende die Periodizität.

Addiere $2n\cdot\pi$, sodass $2n\cdot\pi - b > 0$ gilt.
Dann hast du das Additionstheorem für zwei positive Winkel.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -

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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


Ja, so geht es.

$\displaystyle \begin{array}{l l l}
\sin(a-b) &= \sin(a-b+2\pi k) = \sin\bigl(a + (2\pi k-b)\bigr)
   & \textsf{[wobei $k$ so, dass $2\pi k-b>0$]}\\
&=\sin(a)\cos(2\pi k-b) +\cos(a)\sin(2\pi k-b) & \\
&=\sin(a)\cos(-b) +\cos(a)\sin(-b) & \\
&=\sin(a)\cos(b) -\cos(a)\sin(b) &
\end{array}$



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