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Lineare Algebra » Eigenwerte » Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
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Universität/Hochschule Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Hallo zsm,

ich soll von einer Matrix eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bestimmen.
Ich weiß bereits wie man bei dem Verfahren von Gram-Schmidt vorgeht, aber wie genau geht man mit den Eigenvektoren vor?

Ich schätze mal, dass zu Beginn das charakteristische Polynom und somit auch die Eigenvektoren bestimmt werden müssen....



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


Hallo Rurien9713,

ja, du solltest zunächst einmal ganz normal die Eigenvektoren (oder besser gesagt, die Eigenräume) bestimmen.
Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind immer orthogonal. Du musst schließlich das Gram-Schmidt Verfahren auf für die einzelnen Eigenräume anwenden



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Super! Danke!



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02


Noch ein Nachtrag:
Ich bin davon ausgegangen, dass deine Matrix symmetrisch (oder mindestens normal) ist, ansonsten sind Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten i.A. nicht orthogonal zueinander



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Alles klar.

Ich habe nun alle Eigenvektoren bestimmt. D.h. ich habe bei einer 4x4-Matrix: v1,v2,v3,v4 bestimmt.

Ordne ich dann jetzt die Matrix wie folgt an (v1  v2  v3  v4) und beginne dann einfach wie das Gram-Schmidt-Verfahren?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-02


Das machst du so gerade nicht. Du sortierst die Eigenvektoren nach Eigenwerten und wendest auf jeden Eigenraum einzeln das Gram-Schmidt-Verfahren an.

Wenn also Beispielsweise \(v_1,v_2\) und \(v_3\) Eigenvektoren zum Eigenwert \(4\) sind und \(v_4\) Eigenvektor zum Eigenwert \(-3\), dann normierst du nur \(v_4\) (was im Prinzip dem Gram-Schmidt-Verfahren auf dem eindimensionalen Untervektorraum \(\langle v_4 \rangle\) entspricht) und wendest das Gram-Schmidt-Verfahren auf den Untervektorraum \(\langle v_1, v_2, v_3 \rangle\) an. Die so erhaltenen Vektoren bilden dann eine ONB aus Eigenvektoren, sofern - wie gesagt - die Matrix mindestens mal normal (oder sogar symmetrisch) ist.



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


AHA also noch einmal in eigenen Worten anhand dieses Beispiels:

Ich habe die Eigenwerte 0,0,2,2 also wende ich nun das Gram-Schmidt Verfahren für die beiden paare an. Also unsgesamt 2 mal?



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Ich habe dies nun angewendet. Es würde allerdings genau das gleiche rauskommen wie wenn ich die Basisvektoren einfach normiere.

Ist das immer so oder gibt es auch andere Beispiele?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-02


2020-12-02 13:34 - Rurien9713 in Beitrag No. 6 schreibt:
AHA also noch einmal in eigenen Worten anhand dieses Beispiels:

Ich habe die Eigenwerte 0,0,2,2 also wende ich nun das Gram-Schmidt Verfahren für die beiden paare an. Also unsgesamt 2 mal?

Ja, genau

2020-12-02 13:56 - Rurien9713 in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich habe dies nun angewendet. Es würde allerdings genau das gleiche rauskommen wie wenn ich die Basisvektoren einfach normiere.

Ist das immer so oder gibt es auch andere Beispiele?

Das ist nicht immer so, dann kam es bei der Berechnung halt genauso hin.

Sagen wir, du hast jetzt zum EW 0 die Vektoren \(v_1,v_2\) rausbekommen und zum EW 2 die Vektoren \(v_3,v_4\) und (zufällig) sind diese schon orthogonal zueinander. Du hättest natürlich genauso gut etwa für den EW 0 die Vektoren \(v_1,v_1+v_2\) rausbekommen können, das wäre zunächst mal genauso richtig. Aber \(v_1\) und \(v_1 + v_2\) wären nicht orthogonal zueinander



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