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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Quadratische Form
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Universität/Hochschule J Quadratische Form
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe bearbeite ich gerade:

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Sei $V$ der Vektorraum der symmetrischen Matrizen in $M_{22}(\mathbb{R})$ Sei $q: V \to \mathbb{R}$ definiert durch $q(A) = det(A)$ für alle $A \in V$.


1. Behauptung: Es ist $q$ eine quadratische Form auf $V$

2. Sei $\beta$ die zu $q$ gehörende Bilinearform auf V. Ist $\beta$ positiv definit, positiv semidefinit oder indefinit.

3. Sei $W = \{A \in V | Spur(A) = 0\}$. Sei $\beta_W$ die Einschränkung von $\beta$ auf W. Zeige: Es gilt $\beta_W(A,A) < 0$ für alle $A \in W$, $A \neq 0$.

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Zu 1. Nun ist ja q eine quadratische Form auf V
$\iff$ es gibt eine symmetrische Bilinearform $\beta$ mit $\beta(v,v) = q(v)$ für alle $v \in V$

Definiere ich $\beta: V \times V \to \mathbb{R}$ durch $\beta(A,A') = 2^{-1}(det(A+A') - det(A) - det(A'))$, dann ist $\beta(A,A') = 2^{-1}(det(A+A') - det(A) - det(A'))$ symmetrisch, dies kann ich zeigen.

Ferner gilt $\beta(A,A) = \frac{1}{2} \left( det(A + A) - det(A) - det(A) \right) = \frac{1}{2} \left(det(2A) - 2det(A)\right) = \frac{1}{2} \left(2^2det(A) - 2det(A)\right) = \frac{1}{2} \left(4 det(A) - 2det(A)\right) = det(A) = q(A)$ für alle $A \in V$.

Allerdings scheitere ich daran zu zeigen, dass es sich bei $\beta$ wirklich um eine Bilinearform handelt.

Frage 1 Wie könnte man dies zeigen? Und ist dieser Ansatz überhaupt zielführend?



2. Ist eine quadratische Form q gegeben, so folgt daraus, dass $\beta$ mit $\beta(v,w) = 2^{-1}(det(v + w) - det(v) - det(w))$ für alle $v,w \in V$ die zugehörige Bilinearform ist.
Die Rechnung in 1. vereinfacht $\beta(v,v) = det(v)$.

Es folgt nun zum Beispiel mit $v = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, dass $\beta(v,v) = det(v) = 1 > 0$ ist. Sei $v' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Dann ist $\beta(v',v') = det(v') = -1 < 0$. Damit $\beta$ indefinit.

Frage 2 Habe ich diesen Aufgabenteil korrekt bearbeitet?


3. Sei $\beta_W$ die Einschränkung von $\beta$ auf $W$, also $\beta_W : W \times W \to \mathbb{R}$ definiert durch $\beta_W(A,B) = \beta(A,B)$ für alle $A,B \in W$. Sei $A = a_{ij} \in W$ beliebig mit $A \neq 0$.
Es ist $\beta_W(A,A) = \beta(A,A) = det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$. Wegen $Spur(A) = 0$ gilt $a_{11} + a_{12} = 0 $ bzw. $a_{11} = - a_{12}$. Es folgt $det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = -a_{12}a_{22} - a_{12}a_{21}$


Nun scheitere ich aber daran zu folgern, dass die Determinante negativ ist. Ich merke auch, dass es im Allgemeinen ja Matrizen mit der Spur Null gibt, welche eine positive Determinante haben.

Deshalb Frage 3 : Worin liegt mein Denkfehler in der Argumentation? Bzw. ist die Zuordnung $\beta(v,v) = det(v)$ überhaupt korrekt?


Wie immer wäre ich euch für jede Antwort sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02


Hallo X3nion,

Zu Frage 1: Du könntest \(\beta\) einfach explizit ausrechnen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt dort
\[\beta(A,A')=\frac{1}{2}(a_{11}a'_{22}+a'_{11}a_{22}-a_{12}a'_{21}-a'_{12}a_{21})\] raus, was offenbar bilinear ist.


Zu Frage 2: Ja ich denke schon.


Zu Frage 3:

2020-12-01 23:36 - X3nion im Themenstart schreibt:
 Wegen $Spur(A) = 0$ gilt $a_{11} + a_{12} = 0 $ bzw. $a_{11} = - a_{12}$. Es folgt $det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = -a_{12}a_{22} - a_{12}a_{21}$

Nun scheitere ich aber daran zu folgern, dass die Determinante negativ ist. Ich merke auch, dass es im Allgemeinen ja Matrizen mit der Spur Null gibt, welche eine positive Determinante haben.

Hier hast Du Dich vertan. Die Spur ist \(a_{11}+a_{22}\), d.h. es folgt \(a_{11}=-a_{22}\). Beachte außerdem, dass für \(A\in V\) auch \(a_{12}=a_{21}\) gilt, denn es werden ja nur symmetrische Matrizen betrachtet.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Hi sonnenschein96 und vielen Dank für deinen Beitrag!

Ja stimmt, bei 3. habe ich mich in der Tat vertan, jetzt ergibt es Sinn.

Könntest du mir vielleicht noch erklären, wie du $\beta$ bei 1. ausgerechnet hast? 🙂

Viele Grüße,
X3nion


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

für Sonnenscheins Formel musst du einfach nur $A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$ (und analog for $A'$) in deine Formel für $\beta$ einsetzen und vereinfachen.

Alternativ kannst du benutzen, dass die Determinante eine alternierende Bilinearform auf dem Vektorraum der $2\times 2$-Matrizen ist:
Es sei $A=(A_1,A_2), A'=(A'_1,A'_2)$, wobei $A_1,A_2$ bzw. $A'_1,A'_2$ die Spalten von $A$ bzw. $A'$ seien.
Damit folgt
$$ \begin{align*}
\beta(A,A') &= 2^{-1}(det(A+A') - det(A) - det(A'))\\
&= 2^{-1}(det(A_1+A'_1,A_2+A'_2) - det(A_1,A_2) - det(A'_1,A'_2))\\
&= \ldots
\end{align*}$$ (Die restlichen Vereinfachungen überlasse ich dir).
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Hi Nuramon und vielen Dank dir für deinen Beitrag!

Was meinst du mit $A = (A_1, A_2)$, also wie meinst du die Aufspaltung der Matrix A?

Viele Grüße,
X3nion


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Mit $A=(A_1,A_2)\in \IR^{2\times 2}$ meine ich, dass $A_1\in \IR^2$  die erste Spalte von $A$ und $A_2\in \IR^2$ die zweite Spalte von $A$ sind.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Alles klar, Danke dir!
Das ist echt elegant damit.

Viele Grüße,
X3nion


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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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