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  Vorstellung lokal gleichmäßiger Konvergenz |
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Rurien9713
Aktiv 
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
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Guten Morgen,
wie genau kann man sich die lokal gleichmäßige Konvergenz verbildlichen?
Und wie könnte man es am einfachsten Beschreiben gegenüber gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz?
lg
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1176
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02
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Hallo Rurien9713,
kennst du die Animation auf Wikipedia zur Taylorreihenentwicklung? Diese hier meine ich:
Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig gegen den Cosinus. Denn wählt man sich einen beschränkten Teil des Definitionsbereiches aus, dann kommt die Reihe innerhalb dieses Bereiches irgendwann überall gleichzeitig nah an den Cosinus heran, sie konvergiert dort also gleichmäßig. Nicht aber außerhalb dieses Bereiches: geht man nur wir genug nach rechts, so wird das Polynom beliebig groß, entfernt sich also beliebig weit vom Cosinus.
In gewissem Sinne bedeutet gleichmäßige Konvergenz ja, dass die Konvergenz überall gleich schnell abläuft. Lokal gleichmäßig bedeutet, dass es zwar nicht überall gleich schnell läuft (siehe die Animation, bei der nah an der 0 die Konvergenz schneller ist als weit weg), man aber den Definitionsbereich so mit offenen Mengen überdecken kann, dass innerhalb dieser offenen Mengen die Konvergenz gleich schnell abläuft. Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt also nicht wie bei der punktweisen Konvergenz möglicherweise vollständig vom Punkt ab, ist aber auch nicht wie bei der gleichmäßigen Konvergenz komplett unabhängig davon, wo wir uns befinden. Die Abhängigkeit ist von der offenen Menge in der wir uns befinden.
Potenzreihen sind übrigens eins der wichtigeren Anwendungsgebiete lokal gleichmäßiger Konvergenz. Die lokal gleichmäßige Konvergenz erhält nämlich ähnlich wie die gleichmäßige Konvergenz einige wichtige Eigenschaften von Funktionen wie Stetigkeit und unter Zusatzvoraussetzungen auch die Differenzierbarkeit. Für Potenzreihen gilt aber nunmal nur lokal gleichmäßige Konvergenz, also ist es gut, dass auch diese Konvergenzart verträglich mit den wichtigsten Eigenschaften der Funktionen ist.
Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Rurien9713
Aktiv
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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Vielen Dank für das tolle Beispiel.
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