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  Inhomogene Differenzengleichung 1.Ordnung - Lösen |
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mnilg
Junior 
Dabei seit: 12.11.2020
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Hallo Zusammen,
ich bearbeite im Studium gerade die Differenzengleichungen.
Leider war der Lehrinhalt eher dürftig.
Uns wurde nur der Ansatz des charakteristischen Polynoms gelehrt.
Hier die Aufgabenstellung:
Lösungsversuch:
Die kursive Lösung, ist die Lösung aus WolframAlpha als Orientierung.
Zu (a): habe versucht den Ansatz des charakteristischen Polynoms zu machen, aber komme da nicht weiter...
Zu (b): Lösung aus (a) in inhomogene GL einsetzen und nach y_n auflösen?
Zu (c): Die Differenzengleichung nach y_n auflösen und in obige einsetzen?
Habe schon das halbe Internet durchsucht und leider sehr wenig dazu gefunden. Wäre nett wenn hier jemand einen Anfänger in diesem Bereich weiterhelfen kann.
Viele Grüße
Lukas
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haerter
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02
|
Hallo,
bei (b) sollte der Ansatz \( y_n = \dfrac{c(n)}{n^3}\) lauten.
Man nennt das auch "Variation der Konstanten" (könnte beim Googlen helfen...).
Viele Grüße,
haerter
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Kuestenkind
Senior 
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| Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-02
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Huhu Lukas,
ich verstehe deine Lösung für a) überhaupt nicht. Den Ansatz über das charakteristische Polynom macht man doch nur bei konstanten Koeffizienten. Deine rote Lösung stimmt aber zumindest.
Gruß,
Küstenkind
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Wally
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Herkunft: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02
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Hallo, Lukas,
bei a) solltest du einfach mal die ersten vier Glieder ausrechnen.
Viele Grüße
Wally
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-02
|
Huhu,
ich würde mir das gleich mal allgemein überlegen. Für \(y_{n+1}-g(n)y_n=0\) bekommst du für gegebenes \(y_1 \)doch:
\[y_2=g_1y_1\]
\[y_3=g_2y_2\]
\[\ldots\]
\[y_{n-1}=g_{n-2}y_{n-2}\]
\[y_{n}=g_{n-1}y_{n-1}\]
Nun multipliziere die linke und die rechte Seite mal und setze sie gleich. Was erhältst du?
Gruß,
Küstenkind
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mnilg
Junior 
Dabei seit: 12.11.2020
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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Hallo Zusammen,
danke für die zahlreichen Antworten!
2020-12-02 17:30 - Kuestenkind in Beitrag No. 4 schreibt:
Huhu,
ich würde mir das gleich mal allgemein überlegen. Für \(y_{n+1}-g(n)y_n=0\) bekommst du für gegebenes \(y_1 \)doch:
\[y_2=g_1y_1\]
\[y_3=g_2y_2\]
\[\ldots\]
\[y_{n-1}=g_{n-2}y_{n-2}\]
\[y_{n}=g_{n-1}y_{n-1}\]
Nun multipliziere die linke und die rechte Seite mal und setze sie gleich. Was erhältst du?
Gruß,
Küstenkind
Nun erhalte ich :
  
y_(n+1)=g_n y_n mit g_n = n^3/((n+1)^3)
Dies ist aber noch nicht die Lösung, irgendwo habe ich wohl einen Denkfehler drin...
2020-12-02 17:18 - Wally in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo, Lukas,
bei a) solltest du einfach mal die ersten vier Glieder ausrechnen.
Viele Grüße
Wally
Ja da hast du vollkommen recht, das war die Lösungsmethode aus dem Beispiel in der Vorlesung. Hier ergibt das keinen Sinn. Danke dir für den Hinweis.
2020-12-02 17:18 - Wally in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo, Lukas,
bei a) solltest du einfach mal die ersten vier Glieder ausrechnen.
Viele Grüße
Wally
Hab ich getan:
y_1=1/8; y_2=1/8; y_3=8/27; y_4=27/64;
Wie gesagt, irgendwo hab ich den Wurm drin....
2020-12-02 16:14 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
Huhu Lukas,
ich verstehe deine Lösung für a) überhaupt nicht. Den Ansatz über das charakteristische Polynom macht man doch nur bei konstanten Koeffizienten. Deine rote Lösung stimmt aber zumindest.
Gruß,
Küstenkind
Ja diese Methode kenne ich aus den Bereich der DGL. Danke für den Hinweis. Umsetzung folgt bald!
Vielen Dank für die Hinweise. Bin nach langer Pause wieder in ein Studium eingestiegen, aber ich kämpfe mich da schon durch!
Schönen Abend!
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-02
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Setze
$$z_n=n^3y_n$$und schon wird das ganze sehr einfach. Das drängt sich hier doch auf.
Das ist aber ziemlich falsch. Z.B. ist $y_0$ beliebig (denn es wird in der Urgleichung mit null multipliziert), und $y_1=3$.
Ciao,
Thomas
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Kuestenkind
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-02
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In keiner Gleichung steht ein \(y_{n+1}\)... Wo kommt das auf einmal her? Eher bekommt man:
\[y_n=y_1g_1g_2\dots g_{n-2}g_{n-1}=y_1\prod_{i=1}^{n-1}g_i\]
Schönen Abend,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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mnilg
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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Servus!
2020-12-02 18:39 - MontyPythagoras in Beitrag No. 6 schreibt:
Setze
$$z_n=n^3y_n$$und schon wird das ganze sehr einfach. Das drängt sich hier doch auf.
Das ist aber ziemlich falsch. Z.B. ist $y_0$ beliebig (denn es wird in der Urgleichung mit null multipliziert), und $y_1=3$.
Ciao,
Thomas Du fasst hier also:
(n+1)^3 y_(n+1) = z_n ,
zusammen. Was passiert mit dem:
(n+1)^3 ?
Im Aufgabenhinweis stand ja auch:
n^3/((n+1)^3)
als Doppelbruch schreiben.
Gedanklich hänge ich noch an folgenden Punkt:
(1) Ich stelle die homogene Gleichung nach \(y_(n+1)\) um.
(2) Erhalte nun: \[y_(n+1)= \frac{n^3}{(n+1)^3}y_n\]
Ist diese Vorgehensweise falsch? Warum?
2020-12-02 18:41 - Kuestenkind in Beitrag No. 7 schreibt:
In keiner Gleichung steht ein \(y_{n+1}\)... Wo kommt das auf einmal her? Eher bekommt man:
\[y_n=y_1g_1g_2\dots g_{n-2}g_{n-1}=y_1\prod_{i=1}^{n-1}g_i\]
Schönen Abend,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
Habe ich verstanden, danke für den allgemeinen Ansatz!
Gruß Lukas
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-02
|
Hallo Lukas,
wenn Du
$$z_n=n^3y_n$$ setzt, dann bedeutet das auch
$$z_{n+1}=(n+1)^3y_{n+1}$$wie Dir auffallen sollte. Dann lautet die Differenzengleichung nur noch
$$z_{n+1}-z_n=3$$Und das ist dann eine sehr einfache Differenzengleichung, oder? Wenn Du dann $z_n$ hast, hast Du auch $y_n$.
Ciao,
Thomas
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mnilg
Junior
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|  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Hallo Zusammen,
nun habe ich die Aufgabe (a) so gelöst:
Bei Aufgabe (b) wäre ich wie folgt vorgegangen:
(1): ursprüngliche inh. GL hinschreiben und für alle y_... die Lsg. aus (a) einsetzen.
(2) C durch C_n bzw. C_(n+1) ersetzen.
(3) Nach c(n) umformen und in homogene Gleichung einsetzen.
Irgendetwas mache ich hier noch falsch?
Die rote Lösung ist die Soll-Lsg. von WA.
Vielen Dank für euer Bemühen, freue mich auf euere Antworten.
Gruß
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MontyPythagoras
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-03
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Hallo mnilg,
Du hast beim Einsetzen des Ansatzes in die inhomogene Differenzengleichung vergessen, $y_n$ mit $n^3$ zu multiplizieren.
Ciao,
Thomas
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mnilg
Junior
Dabei seit: 12.11.2020
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Hallo!
Danke für die blitzschnelle Antwort.
Irgendwo habe ich wohl noch einen Fehler drinnen?
Gruß
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-03
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Hallo mnilg,
(erinnert Dich das $c(n)$ jetzt nicht irgendwie an mein $z_n$?)
Du bist halt noch nicht fertig. Du musst immer noch eine Differenzengleichung lösen, nur jetzt für $c(n)$. Aber dafür ist dies eine sehr einfache Differenzengleichung. Es ist nämlich nur eine arithmetische Folge: mit jedem Schritt erhöht sich $c(n)$ um 3. Das kann man doch im Kopf: $c_1$ ist irgendwas, dann ist $c_2=c_1+3$, $c_3=c_1+6$, $c_4=c_1+9$ und so weiter. Damit müsstest Du es doch hinbekommen.
Ciao,
Thomas
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mnilg
Junior
Dabei seit: 12.11.2020
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Danke! Dachte man muss es streng durch umstellen lösen....
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mnilg
Junior
Dabei seit: 12.11.2020
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
|
Zur Vollständigkeit, hier die Lsg. der (c):
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.16, eingetragen 2020-12-03
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Auch wenn du schon abgehakt hast:
2020-12-03 10:52 - mnilg in Beitrag No. 10 schreibt:
nun habe ich die Aufgabe (a) so gelöst:
?
2020-12-03 12:16 - mnilg in Beitrag No. 15 schreibt:
Zur Vollständigkeit, hier die Lsg. der (c):
Das ist keine Lösung.
Gruß,
Küstenkind
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mnilg
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Hallo,
Zitieren eines Beitrags
Markiere den Beitrag, kopiere ihn und füge ihn an gewünschter Stelle in Deiner Antwort ein.
2020-12-03 15:40 - Kuestenkind in Beitrag No. 16 schreibt:
Auch wenn du schon abgehakt hast:
2020-12-03 10:52 - mnilg in Beitrag No. 10 schreibt:
nun habe ich die Aufgabe (a) so gelöst:
?
2020-12-03 12:16 - mnilg in Beitrag No. 15 schreibt:
Zur Vollständigkeit, hier die Lsg. der (c):
Das ist keine Lösung.
Gruß,
Küstenkind Fenster schließen
Muss ich bei der Aufgabe (c) die Folge in die Differenzengleichung einsetzen? Oder wie gehe ich hier vor?
Gruß
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Kuestenkind
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| Beitrag No.18, eingetragen 2020-12-03
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Huhu Lukas,
2020-12-03 15:45 - mnilg in Beitrag No. 17 schreibt:
Zitieren eines Beitrags
Markiere den Beitrag, kopiere ihn und füge ihn an gewünschter Stelle in Deiner Antwort ein.
Danke - aber ich kann zitieren.
2020-12-03 15:45 - mnilg in Beitrag No. 17 schreibt:
Muss ich bei der Aufgabe (c) die Folge in die Differenzengleichung einsetzen?
Das ist eine ausgezeichnete Idee:
\(\displaystyle 3y_n+4=3\left(2\left(3^n-1\right)+3^ny_0\right)+4=\ldots=y_{n+1}\)
Gruß,
Küstenkind
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mnilg
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Hallo,
sorry war wohl ein STRG+A Fehler.
So sollte es nun stimmen.
Gruß
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Kuestenkind
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| Beitrag No.20, eingetragen 2020-12-03
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2020-12-03 16:21 - mnilg in Beitrag No. 19 schreibt:
So sollte es nun stimmen.
Nein - das stimmt natürlich nicht! Du bekommst \(3y_n+4=\ldots=3^ny_0+2(3^n-1)=y_n\). Das hätte dir eigentlich auffallen sollen...
Gruß,
Küstenkind
PS: Für weitere bzw. auch zukünftige Antworten gewöhne dir bitte an direkt ins Forum zu schreiben und keine Bilder hochzuladen. Dann hätte ich deine Rechnung nämlich wunderbar kopieren und die Fehler markieren können.
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mnilg
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|  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04
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Hallo Küstenkind,
jetzt sollte es passen.
Folge in Differenzengleichung einsetzen:
\[2(\left.\ 3^{\left(n+1\right)}-1)+3^{\left(n+1\right)}y_0=3\left(2\left(3^n-1\right)+3^ny_0\right)\right.+4\]
\[2\left(3\ast3^n-1\right)+3\ast3^ny_0=6\left(\left(3^n-1\right)+3^ny_0\right)+4\]
\[6\ast3^n-2+3\ast3^ny_0=6\ast3^n-2+3\ast3^ny_0\]
Grüße
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Kuestenkind
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| Beitrag No.22, eingetragen 2020-12-04
|
Huhu Lukas,
leider immer noch nicht - die mittlere Gleichung ist verkehrt. Ich würde außerdem eine Gleichungskette präferieren, dafür hatte ich dir doch den Anfang und das Ende schon hingeschrieben. Versuche doch nun mal die Pünktchen hier zu füllen:
\(\displaystyle 3y_n+4=3\left(2\left(3^n-1\right)+3^ny_0\right)+4=\ldots=y_{n+1}\)
Gruß,
Küstenkind
PS: Toll, dass du nun \(\LaTeX\) benutzt hast! Hier noch ein Tipp - einen Malpunkt schreibst du als \cdot
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mnilg
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Dabei seit: 12.11.2020
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04
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2020-12-04 20:34 - Kuestenkind in Beitrag No. 22 schreibt:
Huhu Lukas,
leider immer noch nicht - die mittlere Gleichung ist verkehrt. Ich würde außerdem eine Gleichungskette präferieren, dafür hatte ich dir doch den Anfang und das Ende schon hingeschrieben. Versuche doch nun mal die Pünktchen hier zu füllen:
\(\displaystyle 3y_n+4=3\left(2\left(3^n-1\right)+3^ny_0\right)+4=\ldots=y_{n+1}\)
Gruß,
Küstenkind
PS: Toll, dass du nun \(\LaTeX\) benutzt hast! Hier noch ein Tipp - einen Malpunkt schreibst du als \cdot
Danke dir. Nun sollte es aber wirklich stimmen....
\[2\left(\left.\ 3^{\left(n+1\right)}-1\right)+3^{\left(n+1\right)}y_0=3\left(2\left(3^n-1\right)+3^ny_0\right)\right.+4\]
\[2\left(3\cdot3^n-1\right)+3\cdot3^ny_0=\left.\ 6\left(3^n-1\right)+3\cdot3^ny_0\right.+4\]
\[6\cdot3^n-2+3\cdot3^ny_0=6\cdot3^n-2+3\cdot3^ny_0\]
Bzw. mit deinem Ansatz!
\[y_{\left(n+1\right)}=3y_n+4=3\left(2\left(3^n\ -\ 1\right)\ +\ 3^n\ y_0\right)\ +\ 4\ =\ 6\ \cdot\ 3^n\ -\ 6\ +\ 3\ \cdot\ 3^n\ y_0\ +\ 4\ =\ 2\ \cdot\ 3\ \cdot3^n\ -\ 2\ +\ 3\ \cdot3^n\ =\ 2\ \cdot\ 3^{\left(n+1\right)}\ -\ 2\ +\ 3^{\left(n+1\right)}\ =\ 2\ \cdot\ \left(3^{\left(n+1\right)}\ -\ 1\right)\ +\ 3^{\left(n+1\right)}=y_{\left(n+1\right)}\]
Schönen Abend :) & vielen Dank
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1954
| Beitrag No.24, eingetragen 2020-12-05
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Huhu Lukas,
nun stimmt es! Dir ein schönes Wochenende!
Gruß,
Küstenkind
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