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Strukturen und Algebra » Gruppen » Isomorphismus
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Universität/Hochschule Isomorphismus
Milad
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.12.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-02


Hallo,

ich soll diese Aufgabe bearbeiten:
Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Gruppen G und H isomorph sind:
G = {(1 2 3 4)} ≤ S4, H = {(1 2)(3 4),(1 3)(2 4)} ≤ S4 .

Jedoch hab ich keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe herangehen sollte.
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiter helfen könnte.

Mit freundlichen Grüßen,
Milad



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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1930
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ich gehe mal davon aus, du meinst $G=\langle(1\ 2\ 3\ 4)\rangle$ und $H = \langle(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4)\rangle$.
Wenn man es mit endlichen Gruppen zu tun hat, kann man sich diverse einfache Dinge anschauen, um zu widerlegen, dass zwei Gruppen isomorph sind. Dazu gehören zum Beispiel:
* die Anzahl der Elemente,
* die Anzahl der selbstinversen Elemente,
* die Anzahl der idempotenten Elemente (das ist, zugegeben, interessanter in Halbgruppen/Monoiden, die keine Gruppen sind).

Wenn also etwa die Anzahl der selbstinversen Elemente von G ungleich der Anzahl der selbstinversen Elemente von H ist, können G und H nicht isomorph sein. (Dazu muss ggf. noch bewiesen werden, dass sich Isomorphismen auf Bijektionen zwischen den entsprechenden Teilmengen einschränken.)

Zähle doch mal.
\(\endgroup\)


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Milad
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Danke für deine Hilfe, aber leider weiß ich nicht wie man die Anzahl der selbstinversen Element herausfindet. Ich würde mal aber vermuten, dass G 4 selbstinverse Elemente hat und H 8?



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ollie3
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Dabei seit: 21.02.2016
Mitteilungen: 61
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02


Hallo,
weil die Gruppe G nur von einem element erzeugt wird, ist sie zyklisch,
und zyklische Gruppen sind immer kommutativ. Die Gruppe H wird von
2 Elementen erzeugt, multipliziere sie einmal vorwärts und einmal
rückwärts, und du wirst sehen, dass das nicht übereinstimmt. Also
können die Gruppen nicht isomorph sein...

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5700
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-02


Hallo,

um einen Vorschlag von tactac aufzunehmen, und um den Thread an seinen Bestimmungsort zu transportieren: in G kann ja gemäß der Bedeutung der Zykelschreibweise nur das neutrale Element selbstinvers sein. Betrachte in H jetzt einmal die beiden Erzeuger hinsichtlich dieser Eigenschaft.

So war's gedacht, aber ein Irrtum. Ansonsten hatte der Thread dann wie gesagt noch den Sinn und Zweck, die Frage in das passende Unterforum zu verschieben. Sorry für meinen Fehler!

Das Argument von ollie3 ist aber auch gut geeignet, falls es dir besser liegt.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]



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zippy
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Mitteilungen: 1758
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-12-02 15:27 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
in G kann ja gemäß der Bedeutung der Zykelschreibweise nur das neutrale Element selbstinvers sein.

Wie kommst du denn darauf? Es ist doch $(1\ 2\ 3\ 4)^2=(1\ 3)(2\ 4)$ offensichtlich auch selbstinvers.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@zippy:
2020-12-02 15:36 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
Wie kommst du denn darauf? Es ist doch $(1\ 2\ 3\ 4)^2=(1\ 3)(2\ 4)$ offensichtlich auch selbstinvers.

Jep, da habe ich mich vertan. Danke für den Hinweis!


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Milad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Vielen Dank für eure Hilfe, ich habe es nun besser verstanden und kann weiter Arbeiten Dankeschön.😄

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-02


Hi nochmal,

2020-12-02 15:43 - Milad in Beitrag No. 7 schreibt:
Vielen Dank für eure Hilfe, ich habe es nun besser verstanden und kann weiter Arbeiten Dankeschön.😄

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

nur damit das nicht untergeht: mein "Tipp" beruhte auf einem Denkfehler.

Freut mich aber, dass die Frage so schnell geklärt werden konnte (da ich an elementarer Gruppentheorie sehr interessiert bin).


Gruß, Diophant



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Milad hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Milad hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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