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 Sprunghöhe im Schwerpunktsystem |
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SkyGloom
Junior 
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 20
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Guten Abend,
ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher:
Und zwar habe ich eine Kugel \(M\) von Durchmesser \(d\), deren Unterseite \(h\) über dem Boden ist. In winzigem Abstand oberhalb der Kugel befindet sich ein Massenpunkt \(m\) mit \(m\ll M\). Beide Massen fallen gleichzeitig.
"Bestimmen Sie die Sprunghöhe von \(m\). Transformieren Sie dabei ins Schwerpunktsystem und nehmen Sie jeweils elastische Stöße an und vernachlässigen Sie Reibung."
. m
O M
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| h
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Im Laborsystem fallen beide gleich schnell nach unten. Ich nehme mal \(t_0\) als Anfang und \(t_1\) als den Moment, an dem \(M\) im Laborsystem aufprallt und nach oben gegen das fallende \(m\) stößt.
\(E_{pot,M}(t_0)=Mgh\). Damit ist \(E_{kin,M}(t_1) = \frac{Mv_M^2}{2}=Mgh\), also \(v_M(t_1)=\sqrt{2gh}\) (direkt nach dem Aufprall hüpft \(M\) mit dieser Geschwindigkeit nach oben).
Analog gilt \(v_m(t_1)=\sqrt{2gh}\).
Wenn ich bei \(t_1\) ins (gestrichene) Schwerpunktsystem wechsle, müsste der Koordinatenursprung wegen \(m\ll M\) idealisiert im Zentrum von \(M\) sein. Also ist \(E'_{kin,M}(t_1)=0\) und \(p'_M(t_1)=0\).
\(m\) prallt mit \(v'_m(t_1)=2\sqrt{2gh}\) auf \(M\). Wegen \(m\ll M\) dürfte idealisiert kein Impuls übertragen werden, sondern der Impuls \(p'_m\) ändert einfach nur die Richtung von unten nach oben.
Ist das soweit richtig? 🤔 Falls ja, muss ich doch jetzt nur noch \(E'_{kin,m}(t_1)\) ausrechnen und am höchsten Punkt des hüpfenden \(m\)'s ist diese vollständig in potentielle Energie übergegangen und damit erhalte ich die Sprunghöhe, oder? 🤔
Danke im Voraus (ich weiß, es ist viel Text) und Grüße,
Clara
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27682
Herkunft: Hessen
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02
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Hi Clara
Interessant, deine „grafische“ Darstellung😎
In dem Moment, wenn die große Kugel wieder nach oben springt, welche Rolle spielt sie dann für die kleine Kugel? Mit welcher Geschwindigkeit prallen beide aufeinander? Beachte das Massenverhältnis.
Gruß vom ¼
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SkyGloom
Junior
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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Danke für deine Hilfe 😉
Interessant, deine „grafische“ Darstellung😎
Ich dachte mir, dass wäre die effizienteste Darstellung 🙃
In dem Moment, wenn die große Kugel wieder nach oben springt, welche Rolle spielt sie dann für die kleine Kugel? Mit welcher Geschwindigkeit prallen beide aufeinander? Beachte das Massenverhältnis.
Also da \(M\) vernachlässigbar gegenüber der Erdmasse ist und elastisch stößt, prallt \(M\) von der Erde ab und der Impuls wechselt einfach nur die Richtung von unten nach oben, genauso die Geschwindigkeit \(v'_M=\sqrt{2gh}\).
\(m\) fällt im Moment des Zusammenstoßes mit \(v'_m=\sqrt{2gh}\). Also stoßen Kugel und Punkt mit der Geschwindigkeit \(2\sqrt{2gh}\) zusammen, oder? 🤔 Und weil \(m\) vernachlässigbar ist gegenüber \(M\) und elastisch stößt, prallt \(m\) von \(M\) ab und Impuls des Punktes wechselt einfach nur die Richtung von unten nach oben?
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27682
Herkunft: Hessen
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Das wäre der Fall, wenn $m$ auf die Erde prallt.
Nun kommt ihm aber das „Auftreffmedium“, also $M$, entgegen😲\(\endgroup\)
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Shuggar
Neu 
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03
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SkyGloom
Junior 
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Danke. Also... ich habe es im LS gelöst, dort werden die Terme aber ziemlich hässlich. Deshalb vermutlich der Auftrag, es ins Schwerpunktsystem (blau) zu transformieren.
Im LS gilt wegen Impuls- und Energieerhaltung
\(\sqrt{2gh}(m-M) = mv'_m+Mv'_M\)
\(2gh(m+M) = mv_{m}'^2+Mv_{M}'^2\)
(links jeweils der winzige Moment nach dem Rückprall von \(M\) und vor dem Zusammenstoß mit \(m\) und rechts nach dem Zusammenstoß von \(m\) und \(M\)).
Ich bekomme das nicht ins SS transformiert: Wenn ich wegen \(m\ll M\) annehme, dass der Massenschwerpunkt stets im Zentrum von \(M\) ist, dann gilt ja stets \(\color{blue}{\sum p_i = \sum p'_i=0}\) und außerdem \(\color{blue}{v'_M=0}\) und damit \(\color{blue}{v'_m=0}\), was Quatsch ist 🤔
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-03
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Hallo
Du hast jetzt ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten, dass kannst du nach den Geschwindigkeiten umstellen.
Gruß Caban
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SkyGloom
Junior
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Danke 🙂 Das hatte ich gemacht (im Laborsystem), also die obere Gleichung nach \(v_{M}'\) aufgelöst und dann in die untere eingesetzt, um \(v_{m}'\) zu erhalten. Dabei wurden die Terme aber sehr "hässlich". Deswegen vermute ich, dass es im Schwerpunktsystem einfacher geht, sonst wäre das in der Aufgabe vermutlich nicht gefordert.
Aber ich weiß echt nicht, wo ich bei der Transformation ansetzen soll 🤔
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