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Mathematik » Stochastik und Statistik » Warum ist eine ZV eine Treppenfunktion?
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Ausbildung Warum ist eine ZV eine Treppenfunktion?
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-02


Hallo Zusammen,

Es geht um eine Aufgabe zu folgender berühmten $\sigma$-Algebra aus der Stochastik:

$\mathcal{F}_T=\{A\in \mathcal{F}_\infty : A \cap \{T\le n\}\in \mathcal{F}_n \; \forall n \in \mathbb{N}\cup \{+\infty\}\}$

Teilaufgabe b) Zeige das eine ZV $Z$ ist $\mathcal{F}_T$ messbar dann und nur dann wenn $\forall n \in \mathbb{N}\cup \{\infty\}$, $ZI_{\{T\le n \}}$ ist $\mathcal{F}_n$ messbar.


Nun steht in der Musterlösung dass $Z$ der Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen ist.

Welchen Satz habe ich da verpasst oder vergessen? Zumal ja nicht mal angegeben ob $Z$ diskret oder kontinuierlich ist.
Wäre $Z$ diskret, dann wäre es klar.
Ausserdem ist die Bildmenge von $Z$ auch nicht angegeben.

Warum ist $Z$ der Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen?




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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02


Hi,

Zufallsvariablen sind messbare Abbildungen zwischen einem Wahrscheinlichkeitsraum und einer Sigma-Algebra.

Und hier ist vermutlich eine reelle Zufallsvariable gemeint.

Ganz allgemein kann man messbare Abbildungen in die reellen Zahlen in einen Positivteil und einen Negativteil aufspalten.

Positv- und Negativteil sind dann selber nicht-negativ und messbar.

Und nicht-negative messbare Abbildungen nach \(\mathbb{R}\) sind genau die Grenzwerte von Folgen monoton steigender, nicht-negativer Treppenfunktionen.

Siehe z.B. Satz 4.13 in "J. Elstrodt - Maß- und Integrationstheorie".

Gruß

algbr

Nachtrag: Ich habe in dem obigen Kriterium noch ergänzt, dass es sich um monoton steigende Treppenfunktionen handelt.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Hallo Algebr,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Leider konnte ich das angesprochene Skript im Internet nicht finden.

Aber stimmt folgende überlegung?
In einem anderen MP-Thema wurde mir erklärt, dass wenn keine Ziel-$\sigma$-Algebra angegeben wird, so gilt die Borelsche.
Diese beinhaltet ja auch die singeltons.

Somit hat jede Reele Zahl ein Umkehrbild unter $Z$ in $\mathcal{F}_T$. Wenn aber eine reelle Zahl nicht im Bild von $Z$ liegt, dann stimmt das trotzdem denn das Umkehrbild ist dann einfach die Leere Menge.
Somit kann die Messbare Funktion dargestellt werden als:

$Z=\sum_{A\in \mathcal{F}_T} r_A \cdot I_A$

Stimmt das soweit?



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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03


2020-12-02 22:24 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Algebr,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Leider konnte ich das angesprochene Skript im Internet nicht finden.

Aber stimmt folgende überlegung?
In einem anderen MP-Thema wurde mir erklärt, dass wenn keine Ziel-$\sigma$-Algebra angegeben wird, so gilt die Borelsche.
Diese beinhaltet ja auch die singeltons.

Somit hat jede Reele Zahl ein Umkehrbild unter $Z$ in $\mathcal{F}_T$. Wenn aber eine reelle Zahl nicht im Bild von $Z$ liegt, dann stimmt das trotzdem denn das Umkehrbild ist dann einfach die Leere Menge.
Somit kann die Messbare Funktion dargestellt werden als:

$Z=\sum_{A\in \mathcal{F}_T} r_A \cdot I_A$

Stimmt das soweit?

Ich vermute mal, dass du mit $Z=\sum_{A\in \mathcal{F}_T} r_A \cdot I_A$ die Zufallsvariable als Linearkombination von Indikatorfunktionen schreiben möchtest. Aber im Allgemeinen besitzt der Bildbereich einer messbaren Funktion nach $\mathbb{R}$ überabzählbar viele Elemente. Treppenfunktionen besitzen per Definition aber nur endlich viele Funktionswerte.



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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03


2020-12-02 22:24 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Leider konnte ich das angesprochene Skript im Internet nicht finden.

Wenn du keinen Zugriff auf das Buch von Elstrodt hast, steht das auch in "D. Fremlin - Measure Theory - Volume 1", was frei verfügbar ist. Und da sind die beiden Richtungen des Satzes aus Beitrag 1 in 122B (a) und 122H (ii) behandelt. 122H (ii) ist dann sogar noch eine etwas allgemeinere Variante gegenüber dem Satz aus dem Elstrodt.

Das Skript von Fremlin findest du hier: wiki.math.ntnu.no/_media/tma4225/2011/fremlin-mt1.pdf



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


2020-12-03 07:27 - algbr in Beitrag No. 3 schreibt:




Ich vermute mal, dass du mit $Z=\sum_{A\in \mathcal{F}_T} r_A \cdot I_A$ die Zufallsvariable als Linearkombination von Indikatorfunktionen schreiben möchtest. Aber im Allgemeinen besitzt der Bildbereich einer messbaren Funktion nach $\mathbb{R}$ überabzählbar viele Elemente. Treppenfunktionen besitzen per Definition aber nur endlich viele Funktionswerte.

Ja und nein. Dies ist nicht unbedingt eine Treppenfunktion. Sondern der Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen.

In diesem Sinne stelle ich mir die Frage was die Aussage bedeutet, dass Eine Zuvallsvariable Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen ist.
Sollte meine überlegung richtig sein (und da bin ich gar nicht sicher), dann ist jede Funktion mit Bild $\subseteq \mathbb{R}$ Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen. Eventuell sogar jede mathematische Funktion.





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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


2020-12-03 08:05 - algbr in Beitrag No. 4 schreibt:
\
Und da sind die beiden Richtungen des Satzes aus Beitrag 1 in 122B (a) und 122H (ii) behandelt. 122H (ii) ist dann sogar noch eine etwas allgemeinere Variante gegenüber dem Satz aus dem Elstrodt.

D

Wenn ich das Richtig verstehe, dann steht hier $\chi A$ für das was wir mit $I_A$ bezeichnen und Indikatorfunktion nennen.


nun in 122(H) wird eine simple Funktion $\sum_{i=0}^n a_i \chi E_i$ definiert als die Summe aus abzählbar vielen Summanden.
Ist nun die ZV aber kontinuierlich, dann verhält sich ja alles ganz anders. Daher bin ich unsicher.



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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-04


2020-12-04 00:12 - sulky in Beitrag No. 5 schreibt:
Ja und nein. Dies ist nicht unbedingt eine Treppenfunktion. Sondern der Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen.

Ja und nein ergibt keinen Sinn, da es Zufallsvariablen gibt, die der Grennzwert einer Folge von Treppenfunktionen sind, aber selber gleichzeitig keine Treppenfunktionen sind. Und aus deiner Notation wird auch nicht ersichtlich, was die einzelnen Glieder der Funktionenfolge sind. Und wenn irgendwas ein Grenzwert ist, sollte irgendwo auch die Limesnotation vorkommen oder anderweitig darauf hingewiesen werden, dass es Grenzwert von irgendwas ist.

2020-12-04 00:12 - sulky in Beitrag No. 5 schreibt:
In diesem Sinne stelle ich mir die Frage was die Aussage bedeutet, dass Eine Zuvallsvariable Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen ist.

Das verrät einem die Definition der punktweisen Konvergenz einer Funktionenfolge zusammen mit der Definition einer Treppenfunktion.



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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-04


2020-12-04 00:32 - sulky in Beitrag No. 6 schreibt:
nun in 122(H) wird eine simple Funktion $\sum_{i=0}^n a_i \chi E_i$ definiert als die Summe aus abzählbar vielen Summanden.
Ist nun die ZV aber kontinuierlich, dann verhält sich ja alles ganz anders. Daher bin ich unsicher.

Ich sehe gerade, dass in 122H(ii) der Satz gar nicht bewiesen wird, sondern vielmehr einfach die Menge der Funktionen, für die der Satz und Bedingung (i) gilt, mit U bezeichnet werden soll. Für einen Beweis müsstest du also noch woanders reinschauen.

Eine Definition in dem von dir angesprochenen Sinne ist 122H allerdings nicht zu entnehmen. Einfache Funktionen werden in 122A(b) definiert und da sind auch nur endlich viele Summanden erlaubt und nicht abzählbar viele.



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algbr
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2020-12-04 07:18 - algbr in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich sehe gerade, dass in 122H(ii) der Satz gar nicht bewiesen wird, sondern vielmehr einfach die Menge der Funktionen, für die der Satz und Bedingung (i) gilt, mit U bezeichnet werden soll. Für einen Beweis müsstest du also noch woanders reinschauen.

Ein Beweis für die eine Richtung des Satzes aus Beitrag 1 findet sich auch hier: www.youtube.com/watch?v=9JEUIte9xOE#t=8m01s



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