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Analysis » Maßtheorie » Überprüfe, ob es sich bei der Mengenabbildung um ein Maß handelt
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Universität/Hochschule J Überprüfe, ob es sich bei der Mengenabbildung um ein Maß handelt
Hundscheregel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-03


Hallo ich bin mir unsicher, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
Hier die Aufgabe:

Meine Lösung ist folgende(hierzu habe ich mein skript und Wikipedia verwendet:


Bei meiner Lösung hätte ich direkt eine Frage: Bevor ich die Eigenschaften einer Maß untersuche, muss ich in dieser Aufgabe vorher noch die Eigenschaften einer sigma Algebra untersuchen?

Ich entschuldige mich im Vorfeld dafür, dass ich die Aufgabe und Lsg. nicht mit dem Formeleditor geschrieben habe (bin neu hier😃)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03


Hallo,

die Potenzmenge einer Menge ist immer eine $\sigma$-Algebra über der Menge. Das habt ihr bestimmt in der Vorlesung gehabt.

Die Aufgabe hat nichts mit der charakteristischen Funktion zu tun. Überprüfe, ob für jede Menge $A\subset\mathbb{N}$
\[
\mu(A) = \sum_{i\in A}\mu(\{i\})
\] gilt. Alle Mengen $A\subset\mathbb{N}$ sind abzählbar.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-03


2020-12-03 19:59 - Hundscheregel im Themenstart schreibt:
Bevor ich die Eigenschaften einer Maß untersuche, muss ich in dieser Aufgabe vorher noch die Eigenschaften einer sigma Algebra untersuchen?

Nein, wenn in der Aufgabenstellung gesagt wird, dass $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$ ein messbarer Raum ist, dann darf man das glauben.

Was du aber beweisen müsstest, ist die Darstellung $\mu(A)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\,\chi_A(n)$, die du verwendest. (Allerdings benötigst du diese Darstellung für die Lösung der Aufgabe nicht wirklich.)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Hundscheregel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


Danke für die schnelle Antwort!
Das die Potenzmenge einer Menge immer ein σ-Algebra über der Menge ist hatten wir in der Vl. Ich blicke im Moment nicht wirklich in dem Thema durch deshalb stelle ich solche Fragen.....
Ich habe jetzt versucht euren angegebenen Ansatz anzuwenden und habe folgendes aufgeschrieben:


Des Weiteren wollte ich fragen, ob es sich hierbei um eine Zählmaß handelt?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03


Du hast zu iii) zwar etwas hingeschrieben, aber weder bewiesen noch widerlegt, dass $\mu$ $\sigma$-additiv ist. (Das kannst du schon daran erkennen, dass du gar keine Eigenschaften von $\mu$ verwendet hast.)

Betrachte doch mal ganz konkret die Folge $A_k=\{k\}$. Die $A_k$ sind paarweise disjunkt und es ist $\bigcup_{k\in\mathbb N}A_k=\mathbb N$. Jetzt rechne nach, ob auch $\sum_{k\in\mathbb N}\mu(A_k)=\mu(\mathbb N)$ gilt.



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Hundscheregel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Ich habe überprüft, ob $\sum_{k\in\mathbb N}\mu(A_k)=\mu(\mathbb N)$ gilt und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:


Ich hoffe es stimmt😄



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-05


2020-12-04 18:14 - Hundscheregel in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich hoffe es stimmt😄

Das tut es.

(Du solltest aber noch entweder explizit $A_k=\{k\}$ setzen oder erwähnen, dass $\bigcup_{k\in\mathbb N}A_k=\mathbb N$ eine Bedingung an die $A_k$ ist.)



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Hundscheregel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Ok das mache ich.
Danke für die Hilfe!



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Hundscheregel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Hundscheregel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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