Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Bewegte Bezugssysteme » Scheinkräfte im Fahrzeug
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Scheinkräfte im Fahrzeug
Mandacus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 166
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-04


Hallo,

ich eine Schwierigkeit mit einer Aufgabe zu Winkelgeschwindigkeit und Scheinkräften in Fahrzeugen.

Betrachten Sie ein Fahrzeug, das sich entlang der Bahnkurve $\Delta \ddot{\textbf{r}}=\textbf{r}_F(t)$ bewegt, derart, dass seine Spitze stets in tangentiale Richtung zeigt und sein Boden parallel zur Krümmungsebene der Kurve orientiert ist. Eine geeignete Wahl für das Bezugssystem des Fahrzeuges (BF) ist daher das begleitende Dreibein zu dieser Bahnkurve. Relativ zum Bezugssystem des Fahrzeuges (BF) seien Ort und Geschwindigkeit eines sich im Inneren des Fahrzeuges befindlichen Körpers der Masse $m$ durch den Vektor $\vec{r}'$ und $\ddot{\vec{r}}|_{\text{BF}}=\vec{u}$ ausgedrückt. Innerhalb des Fahrzeuges spüren Körper also die Trägheitskraft

$$ \vec{F}_I=-m[\Delta \ddot{\vec{r}}+2 \omega \times \vec{u}+\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}')+\dot{\vec{\omega} }\times \vec{r}']
$$
wobei $\vec{\omega}$ die vektorielle Winkelgeschwindigkeit ist, mit der sich BF gemäß

$$ \dot{\vec{e}_i}=\vec{\omega} \times \vec{e}_i
$$
um sich selbst dreht.

(a) Berechnen Sie die mithilfe der Frenetschen Formeln die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ in Abhängigkeit von Bahnkrümmung $\kappa$, torsion $\tau$ und Fahrzeugggeschwindigkeit $v_F=|\dot{\vec{r}_F}|$.

(b) Das Fahrzeug bewege sich nun nur in der $x-y$- Ebene (d.h. $z_F=0$). Zeigen Sie, dass sich $\vec{\omega}$ damit vereinfacht zu

$$ \vec{\omega}=\frac{\dot{\vec{r}}_F \times \ddot{\vec{r}_F}}{v^2_F}.
$$
(c) Das Fahrzeug fährt entlang der Ellipsenbahn

$$ \vec{r}_F(t)=a \cos(\omega_0t) \vec{e}_x+b \sin(\omega_0t) \vec{e}_y.
$$
Wie lautet das Kraftgesetz der wirkenden Trägheitskraft $\vec{F}_I$ für einen Körper in Abhängigkeit von seiner relativen Position $\vec{r}'$ und Geschwindigkeit $\vec{u}$ Der Körper befinde sich ebenfalls in der Ebene $z=0$.

Um (a) zu lösen, habe ich mir zunächst das begleitende Dreibein bestehend aus dem Tangentialvektor $\vec{T}$, dem Normalenvektor $\vec{N}$ und dem Binormalenvektor $\vec{B}$ angeschaut.

Bisher habe ich die folgenden Darstellungen gefunden

$$ \vec{v}_F=v_F \vec{T}                                                         \\
\dot{\vec{T}}=\vec{\omega} \times \vec{T}=v_F \kappa \vec{N}                  \\
\dot{\vec{N}}=\vec{\omega} \times \vec{N}=v_F (\tau \vec{B}-\kappa \vec{T})   \\
\dot{\vec{B}}=\vec{\omega} \times \vec{B}=v_F (-\tau) \vec{N}
$$    

Allerdings sehe ich nicht, wie ich jetzt an die Darstellung für $\vec{\omega}$ kommen kann. Wären die Vektoren die kanonischen Einheitsvektoren, so wäre es ganz einfach, aber hier sehe ich noch nicht, wie ich $\vec{\omega}$ von den Kreuzprodukten entkoppeln kann.

 



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8143
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo,

das hier

2020-12-04 14:18 - Mandacus im Themenstart schreibt:
...

$$ \vec{v}_F=v_F \vec{T}                                                         \\
\dot{\vec{T}}=\vec{\omega} \times \vec{T}=v_F \kappa \vec{N}                  \\
\dot{\vec{N}}=\vec{\omega} \times \vec{N}=v_F (\tau \vec{B}-\kappa \vec{T})   \\
\dot{\vec{B}}=\vec{\omega} \times \vec{B}=v_F (-\tau) \vec{N}
$$ ...

sieht doch schonmal gut aus, :-)

Tipps für die Winkelgeschwindigkeit:
fed-Code einblenden

Grüße
Juergen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mandacus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 166
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Der Koeffizientenvergleich liefert mir

$$ \omega_1=v_F \tau   \\
\omega_2=0          \\
\omega_3=v_F \kappa \\
$$
Also gilt

$$ \vec{\omega}=v_F \tau \vec{T}+v_F \kappa \vec{B}.
$$
Für b) würde diese Formel wegen $\tau=0$ (da die Bewegung nur in der Ebene stattfindet) nur noch von $\vec{B}$ abhängen und ich könnte die gesuchte Beziehung leicht zeigen.

Bei c) habe ich allerdings noch ein kleines Problem. Da brauche ich ja noch die Vektoren $\Delta \ddot{\vec{r}}, \vec{r}', \vec{u}$. Den ersten Vektor sollte ich durch Ableiten von $\vec{r}_F$ bekommen. Die anderen beiden Vektoren kann ich formal als Linearkombinationen der Vektoren des Dreibeins bzw. deren Zeitableitungen darstellen. Allerdings sehe ich dann nicht, wie ich an die Koeffizienten kommen sollte.      



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8143
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05


Hallo!

2020-12-05 12:43 - Mandacus in Beitrag No. 2 schreibt:
...
Für b) würde diese Formel wegen $\tau=0$ (da die Bewegung nur in der Ebene stattfindet) nur noch von $\vec{B}$ abhängen und ich könnte die gesuchte Beziehung leicht zeigen.
...    

Warum formulierst Du das im Konjunktiv? Könntest Du oder kannst Du?

:-)

Grüße
Juergen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mandacus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 166
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Ich denke, dass ich es kann. Es gilt

$$ \vec{\omega}=\kappa v_F \vec{B} \\
=\frac{\kappa v^3_F (\vec{T} \times \vec{N}+v_F \ddot{s} \vec{T} \times \vec{T})}{v^2_F} \\
=\frac{v_F \vec{T} \times (\kappa v^2_F \vec{N}+\ddot{s} \vec{T})}{v^2_F} \\
=\frac{\ddot{\vec{r_F}} \times \ddot{\vec{r_F}}}{v^2_F}
$$
wobei $s$ dieLänge des durchlaufenen Kurvenstückes bezeichnet. Mein wirkliches Problem liegt allerdings bei c), da mir dort noch einige Informationen fehlen, um die Trägheitskraft $F_I$ erfolgreich auszurechnen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mandacus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]