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| Autor |
 Scheinkräfte im Fahrzeug |
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Mandacus
Aktiv 
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 162
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Hallo,
ich eine Schwierigkeit mit einer Aufgabe zu Winkelgeschwindigkeit und Scheinkräften in Fahrzeugen.
Betrachten Sie ein Fahrzeug, das sich entlang der Bahnkurve $\Delta \ddot{\textbf{r}}=\textbf{r}_F(t)$ bewegt, derart, dass seine Spitze stets in tangentiale Richtung zeigt und sein Boden parallel zur Krümmungsebene der Kurve orientiert ist. Eine geeignete Wahl für das Bezugssystem des Fahrzeuges (BF) ist daher das begleitende Dreibein zu dieser Bahnkurve. Relativ zum Bezugssystem des Fahrzeuges (BF) seien Ort und Geschwindigkeit eines sich im Inneren des Fahrzeuges befindlichen Körpers der Masse $m$ durch den Vektor $\vec{r}'$ und $\ddot{\vec{r}}|_{\text{BF}}=\vec{u}$ ausgedrückt. Innerhalb des Fahrzeuges spüren Körper also die Trägheitskraft
$$
\vec{F}_I=-m[\Delta \ddot{\vec{r}}+2 \omega \times \vec{u}+\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}')+\dot{\vec{\omega} }\times \vec{r}']
$$
wobei $\vec{\omega}$ die vektorielle Winkelgeschwindigkeit ist, mit der sich BF gemäß
$$
\dot{\vec{e}_i}=\vec{\omega} \times \vec{e}_i
$$
um sich selbst dreht.
(a) Berechnen Sie die mithilfe der Frenetschen Formeln die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ in Abhängigkeit von Bahnkrümmung $\kappa$, torsion $\tau$ und Fahrzeugggeschwindigkeit $v_F=|\dot{\vec{r}_F}|$.
(b) Das Fahrzeug bewege sich nun nur in der $x-y$- Ebene (d.h. $z_F=0$). Zeigen Sie, dass sich $\vec{\omega}$ damit vereinfacht zu
$$
\vec{\omega}=\frac{\dot{\vec{r}}_F \times \ddot{\vec{r}_F}}{v^2_F}.
$$
(c) Das Fahrzeug fährt entlang der Ellipsenbahn
$$
\vec{r}_F(t)=a \cos(\omega_0t) \vec{e}_x+b \sin(\omega_0t) \vec{e}_y.
$$
Wie lautet das Kraftgesetz der wirkenden Trägheitskraft $\vec{F}_I$ für einen Körper in Abhängigkeit von seiner relativen Position $\vec{r}'$ und Geschwindigkeit $\vec{u}$ Der Körper befinde sich ebenfalls in der Ebene $z=0$.
Um (a) zu lösen, habe ich mir zunächst das begleitende Dreibein bestehend aus dem Tangentialvektor $\vec{T}$, dem Normalenvektor $\vec{N}$ und dem Binormalenvektor $\vec{B}$ angeschaut.
Bisher habe ich die folgenden Darstellungen gefunden
$$
\vec{v}_F=v_F \vec{T} \\
\dot{\vec{T}}=\vec{\omega} \times \vec{T}=v_F \kappa \vec{N} \\
\dot{\vec{N}}=\vec{\omega} \times \vec{N}=v_F (\tau \vec{B}-\kappa \vec{T}) \\
\dot{\vec{B}}=\vec{\omega} \times \vec{B}=v_F (-\tau) \vec{N}
$$
Allerdings sehe ich nicht, wie ich jetzt an die Darstellung für $\vec{\omega}$ kommen kann. Wären die Vektoren die kanonischen Einheitsvektoren, so wäre es ganz einfach, aber hier sehe ich noch nicht, wie ich $\vec{\omega}$ von den Kreuzprodukten entkoppeln kann.
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Spock
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Dabei seit: 25.04.2002
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05
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Hallo,
das hier
2020-12-04 14:18 - Mandacus im Themenstart schreibt:
...
$$
\vec{v}_F=v_F \vec{T} \\
\dot{\vec{T}}=\vec{\omega} \times \vec{T}=v_F \kappa \vec{N} \\
\dot{\vec{N}}=\vec{\omega} \times \vec{N}=v_F (\tau \vec{B}-\kappa \vec{T}) \\
\dot{\vec{B}}=\vec{\omega} \times \vec{B}=v_F (-\tau) \vec{N}
$$
...
sieht doch schonmal gut aus, :-)
Tipps für die Winkelgeschwindigkeit:
  
Schreibe \w^> als Linearkombination der Vektoren T^>, N^>, und B^> mit Koeffizienten \(Koordinaten\) \w_i, d.h., \w^>=\w_1 T^>+\w_2 N^>+\w_3 B^> Berechne damit \w^> \cross T^> und \w^> \cross B^> und mache mit Deinem Ergebnis für T^>^* und B^>^* Koeffizienten\-Vergleich
Grüße
Juergen
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Mandacus
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Mitteilungen: 162
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Der Koeffizientenvergleich liefert mir
$$
\omega_1=v_F \tau \\
\omega_2=0 \\
\omega_3=v_F \kappa \\
$$
Also gilt
$$
\vec{\omega}=v_F \tau \vec{T}+v_F \kappa \vec{B}.
$$
Für b) würde diese Formel wegen $\tau=0$ (da die Bewegung nur in der Ebene stattfindet) nur noch von $\vec{B}$ abhängen und ich könnte die gesuchte Beziehung leicht zeigen.
Bei c) habe ich allerdings noch ein kleines Problem. Da brauche ich ja noch die Vektoren $\Delta \ddot{\vec{r}}, \vec{r}', \vec{u}$. Den ersten Vektor sollte ich durch Ableiten von $\vec{r}_F$ bekommen. Die anderen beiden Vektoren kann ich formal als Linearkombinationen der Vektoren des Dreibeins bzw. deren Zeitableitungen darstellen. Allerdings sehe ich dann nicht, wie ich an die Koeffizienten kommen sollte.
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Spock
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Dabei seit: 25.04.2002
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Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05
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Hallo!
2020-12-05 12:43 - Mandacus in Beitrag No. 2 schreibt:
...
Für b) würde diese Formel wegen $\tau=0$ (da die Bewegung nur in der Ebene stattfindet) nur noch von $\vec{B}$ abhängen und ich könnte die gesuchte Beziehung leicht zeigen.
...
Warum formulierst Du das im Konjunktiv? Könntest Du oder kannst Du?
:-)
Grüße
Juergen
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Mandacus
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Mitteilungen: 162
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Ich denke, dass ich es kann. Es gilt
$$
\vec{\omega}=\kappa v_F \vec{B} \\
=\frac{\kappa v^3_F (\vec{T} \times \vec{N}+v_F \ddot{s} \vec{T} \times \vec{T})}{v^2_F} \\
=\frac{v_F \vec{T} \times (\kappa v^2_F \vec{N}+\ddot{s} \vec{T})}{v^2_F} \\
=\frac{\ddot{\vec{r_F}} \times \ddot{\vec{r_F}}}{v^2_F}
$$
wobei $s$ dieLänge des durchlaufenen Kurvenstückes bezeichnet. Mein wirkliches Problem liegt allerdings bei c), da mir dort noch einige Informationen fehlen, um die Trägheitskraft $F_I$ erfolgreich auszurechnen.
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