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  Konvergenz einer rekursiven Folge |
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Rundas2510
Junior 
Dabei seit: 19.11.2020
Mitteilungen: 15
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Hallo liebe Forenmitglieder, ich beschäftige mich gerade mit der folgenden Aufgabe.
Die Konvergenz der folgenden Folge soll gezeigt werden und weiterhin soll der Grenzwert bestimmt werden.
  
a_1:= 1, a_(n+1):=(2+a_(n))/(1+a_(n))
Zunächst habe ich es mit dem Monotonie-Kriterium versucht, da die Beschränktheit leicht zu zeigen ist, allerdings ist mir dann aufgefallen, dass die Folge nicht monoton ist.
Nun habe ich mir überlegt, dass es vielleicht möglich ist zu zeigen, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist.
Die mir bekannte Definition einer Cauchy-Folge ist:
Eine reelle Folge (a_n) heißt Cauchy-Folge, wenn für jedes \epsilon >0 ein n_0\el\ \IN existiert, sodass gilt abs(a_n-a_m)<\epsilon für alle n,m>=n_0.
Ich habe durch die Grenzwertbildung schon herausgefunden, dass die Folge gegen
sqrt(2) konvergiert.
Allerdings bin ich jetzt etwas überfordert damit diese Definition auf eine rekursive Folge anzuwenden. Ich habe schon versucht die Rekursionsformel einfach in Definition einzusetzen, aber das erschien mir wenig nützlich zu sein. Für eine kleine Hilfestellung wäre ich euch sehr dankbar.
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3748
Herkunft: Raun
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05
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Hallo Rundas2510,
die Folge \(a_1, a_3. a_5, a_7, a_9, \ldots\) scheint eine monotone Folge zu sein, ebenso \(a_2, a_4. a_6, a_8, a_{10}, \ldots\). Vielleicht gelingt dafür der Beweis der Monotonie (ich habe es noch nicht geschafft).
Viele Grüße,
Stefan
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algbr
Aktiv
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-05
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Hi,
man prüft anhand der Rekursionsbedingung per Induktion leicht nach, dass gilt $$a_n=\frac{\bigl(\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}\bigr)}{\bigl(\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}\bigr)}$$
Damit dürfte der Rest einfach sein.
Die Zähler und Nenner von $a_n$ sind übrigens Lösungen der Pellschen Gleichung $a^2-2b^2=\pm 1$. Wenn man für $a$ die Zähler und für $b$ die Nenner einsetzt, sind das stets Lösungen.
Und dass für $a_n$ so eine Darstellung wie oben existieren muss, kann man z.B. mit dem Schubfachprinzip beweisen, wie es auch mal hier im Forum behandelt wurde. Beispielsweise wenn man die Darstellung noch nicht kennt, die man ansonsten, wie oben vorgeschlagen, einfach per Induktion beweisen kann.
Ansonsten folgt das ganz allgemein, wenn man den Dirichletschen Einheitensatz auf den quadratischen Zahlkörper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ anwendet.
Gruß
algrb
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algbr
Aktiv
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05
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Noch ein Nachtrag:
Die Formel für $a_n$ aus Beitrag 2 kann man vermutlich auch direkt herleiten, indem man den Exponentialansatz, mit dem man die Formel von Moivre-Binet für die Fibonaccizahlen beweisen kann, leicht verallgemeinert.
Beziehunsgweise wendet man den Exponentialansatz dann (simultan) einfach auf die Zähler- und Nennerfolge an.
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Rundas2510
Junior
Dabei seit: 19.11.2020
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Vielen Dank für die bisherigen Antworten. Ich versuche jetzt die Aufgabe mit den neuen Ideen zu lösen und melde mich nochmal, wenn ich weitergekommen bin.
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Rundas2510
Junior
Dabei seit: 19.11.2020
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Hallo, ich habe es zunächst mit dem Exponentialansatz versucht, hatte dann aber das Problem, dass ich die charakteristische Gleichung nicht lösen konnte.
Ich habe jedoch diese Aufgabe hier im Forum gefunden.
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=46129&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F
Ich habe mir noch nicht die Beiträge durchgelesen, da ich nicht die komplette Aufgabe vorgerechnet bekommen will, jedoch ist die Aufgabenstellung hilfreicher formuliert, als die auf meinem Blatt.
Der springende Punkt ist ja Teil b:
(b) Zeigen Sie, dass abs((a_m) - (a_n))<= 1/4 abs(a_(m-1) - a_(n-1))für alle natürlichen Zahlen n,m \ge 2 gilt.
Ich denke, dass ich es schaffe dies zu zeigen, aber wieso folgt aus dieser Aussage, dass a_n konvergiert? Ich sehe, dass die Aussage der Definition einer Cauchy-Folge ähnelt. Ist es die richtige Begründung, dass auch hier der Abstand der Folgenglieder beliebig klein werden kann?
Danke für eure Hilfe.🙂
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9029
Herkunft: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Eine weitere (mehr elementare) Möglichkeit ist es auszunutzen, dass man den wahrscheinlichen Grenzwert \( \sqrt{2}\) schon kennt.
Klar ist \( 1<a_n<2\), und für \( u_n:=\sqrt{2}-a_n\) bekommt man eine Abschätzung.
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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algbr
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-05
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2020-12-05 11:48 - Rundas2510 in Beitrag No. 5 schreibt:
Der springende Punkt ist ja Teil b:
(b) Zeigen Sie, dass abs((a_m) - (a_n))<= 1/4 abs(a_(m-1) - a_(n-1))für alle natürlichen Zahlen n,m \ge 2 gilt.
Ich denke, dass ich es schaffe dies zu zeigen, aber wieso folgt aus dieser Aussage, dass a_n konvergiert? Ich sehe, dass die Aussage der Definition einer Cauchy-Folge ähnelt. Ist es die richtige Begründung, dass auch hier der Abstand der Folgenglieder beliebig klein werden kann?
Danke für eure Hilfe.🙂
Angenommen es gilt $|a_m - a_n|\leq \frac{1}{4} |a_{m-1} - a_{n-1}|$, dann gilt (wenn die Indizees nicht gerade negativ werden und die Folge dort deshalb gar nicht definiert ist) auch $|a_m - a_n|\leq \frac{1}{16} |a_{m-2} - a_{n-2}|$ und $|a_m - a_n|\leq \frac{1}{64} |a_{m-3} - a_{n-3}|$ und so weiter. Angenommen man weiß jetzt, dass die Folge beschränkt ist, was kann man dann daraus schlussfolgern?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Rundas2510
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Dabei seit: 19.11.2020
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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algbr
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-05
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Ja, fast. Du kannst damit letztlich zeigen, dass die Folge eine Cauchyfolge ist und damit konvergiert.
Du musst aber mit einem $\epsilon$ anfangen. Dann gibt es ein kleinstes $k \in \mathbb{N}$ so dass $\frac{1}{4^k}\cdot c<\epsilon$ gilt.
Was muss für $c$ jetzt eingesetzt werden und wie gehts dann weiter?
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Rundas2510
Junior
Dabei seit: 19.11.2020
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Ich hätte jetzt einfach angenommen, dass c=1 gilt, weil die Folge durch 1 und 2 beschränkt ist und deshalb der Abstand zweier Folgenglieder maximal 1 betragen kann.
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algbr
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Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-05
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2020-12-05 13:16 - Rundas2510 in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich hätte jetzt einfach angenommen, dass c=1 gilt, weil die Folge durch 1 und 2 beschränkt ist und deshalb der Abstand zweier Folgenglieder maximal 1 betragen kann.
Ja, das klingt gut. Jetzt stellt sich nur noch die Frage, was für $n,m > k$ gilt.
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Rundas2510
Junior
Dabei seit: 19.11.2020
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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algbr
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Dabei seit: 02.12.2020
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-05
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2020-12-05 13:46 - Rundas2510 in Beitrag No. 12 schreibt:
Dann sollte doch
abs(a_m-a_n) <= (1/4^k) < \epsilon für alle m,n>k= log_(0.25) \epsilon
gelten.
Für alle $n, m \in \mathbb{N}$ die größer sind als das kleinste natürliche $k$ mit $\frac{1}{4^k}< \epsilon$ gilt dann auch $|a_n- a_m| < \frac{1}{4^k}<\epsilon$
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Rundas2510
Junior
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Okay, vielen Dank für die Hilfe. Ich würde sagen, dass mir das reicht, um eine vernünftige Lösung aufschreiben zu können.👍
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-12-05
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Huhu Rundas2510,
da der Satz auch gerade hier auf Seite 1 zu lesen ist: Du kannst auch den Fixpunktsatz von Banach benutzen (falls dieser bekannt ist). Siehe als Beispiel z.B. dort:
math.stackexchange.com/questions/2551902/banachs-fixed-point-theorem/2551912
Für dieses Beispiel ist dann einfach \(X:=\left[1,\frac{3}{2}\right]\) und \(f(x):=\frac{2+x}{1+x}=1+\frac{1}{1+x}\)
Grüße aus dem Norden,
Küstenkind
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Themenstart: 2020-12-05