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  Von zwei Mengen erzeugtes Dynkin-System |
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Gast123
Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 96
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Hallo,
ich habe ein paar Fragen zu folgendem Problem:
Sei $X$ eine Menge, $A, B \subset X$ und $M = \{A,B\}$.
Sei weiterhin $A \cap B = \emptyset$. Zeige, dass dann die von $M$ erzeugte Sigma Algebra $S$ und das von $M$ erzeugte Dynkin System $D$ übereinstimmen.
Der eigentliche Beweis ist nicht sonderlich schwierig. Man bemerkt einfach, dass auch $N = \{\emptyset, A, B\}$ ein Erzeugendensystem ist von $S$ und $D$ . Da nun $N$ durchschnittsstabil ist (wegen $A \cap B = \emptyset$), kann man mit einem Satz folgern, dass dann $S=D$ ist.
Worum es mir aber geht ist, dass ich gerne das von $M$ bzw $N$ erzeugte Dynkin System selber hinschreiben möchte anhand der Definition von Dynkin Systemen.
Ich weiß schonmal, dass $S = \{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, A\cup B, A \cup B^{c}, A^{c} \cup B, A^{c} \cup B^{c}, A\cap B, A \cup B^{c}, A^{c} \cup B,, A^{c} \cap B^{c}, X\}$.
D.h., das sollte auch für $D$ rauskommen, wenn man die Annahme, dass $A \cap B = \emptyset$ gilt hinzunimmt.
Ganz ohne Vorinformationen über die Mengen $A$ und $B$ kann man aber schonmal so anfangen:
$D = \{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, X\}$.
Wegen $A \cap B = \emptyset$ ist also auch $A \cap B \in D$.
Außerdem bedeutet diese Voraussetzung ja genau, dass $A$ und $B$ disjunkt sind, d.h. es gilt auch $A \cup B \in D$.
Dann müssen aber auch deren Komplemente in $D$ sein, also: $A^{c} \cup B^{c} \in D$ und $A^{c} \cap B^{c} \in D$.
Damit fehlen jetzt eigentlich nur noch:
$A \cup B^{c}, A^{c} \cup B, A \cup B^{c}, A^{c} \cup B$.
1.) Und da weiß ich nicht, wie ich das zeigen kann, dass auch die darin liegen müssen, nur mit der Definition des Dynkin Systems und Mengentheoretischen Überlegungen. Kann mir da jemand helfen?
2.) Eine generelle Frage zur Definition von Dynkin Systemen:
Wenn ich weiß, dass $A^{c} \cup B^{c} \in D$, kann ich daraus automatisch folgern, dass $A^{c}$ und $B^{c}$ disjunkt sind?
3.) Wenn ich wüsste, dass sowohl $A^{c}$ und $B^{c}$ disjunkt sind als auch $A$ und $B$ disjunkt sind, dann müsste doch eigentlich gelten, dass $A^{c} = B$ oder? Zumindest folgt das für mich, wenn ich mir ein Venn Diagramm aufmale. Ich kann das aber nicht mit Mengentheoretischen Operationen herleiten.
4.) Ist ein Dynkin System, das einen durchschnittsstabilen Erzeuger hat, selber auch immer durchschnittsstabil?
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3430
Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05
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Huhu Gast123,
Du hast alles richtig überlegt. Hier noch ein paar Hinweise zu Deinen Fragen:
(1) Es ist z.B. $A \cup B^c = A \cup (B^c \cap A^c)$ eine disjunkte Vereinigung zweier Elemente aus $D$.
(2) Nein. Betrachte etwa einmal $B\subset A$.
(3) Ja. Es gilt unter den Voraussetzungen $X = (X \cap Y) \cup (X \cap Y^c) = X \cap Y^c$ für $\{X,Y\}=\{A^c,B\}$. Jede Wahl von $(X,Y)$ ergibt eine der benötigten Inklusionen.
(4) Ja.
lg, AK.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6560
Herkunft: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-05
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Hallo Gast123,
2020-12-05 12:10 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Ich weiß schonmal, dass $S = \{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, A\cup B, A \cup B^{c}, A^{c} \cup B, A^{c} \cup B^{c}, A\cap B, A \cup B^{c}, A^{c} \cup B,, A^{c} \cap B^{c}, X\}$.
D.h., das sollte auch für $D$ rauskommen, wenn man die Annahme, dass $A \cap B = \emptyset$ gilt hinzunimmt. Hier muss es
$S = \{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, A\cup B, A \cup B^{c}, A^{c} \cup B, A^{c} \cup B^{c}, A\cap B, A \cap B^{c}, A^{c} \cap B, A^{c} \cap B^{c}, X\}$
heißen. War wahrscheinlich nur ein Tippfehler.
Wenn \(A\cap B=\emptyset\), dann ist \(A\cup B^c=B^c\), \(A^c\cup B=A^c\), \(A\cap B^c=A\), \(A^c\cap B=B\) und \(A^c\cup B^c=X\), sodass dann
$S = \{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, A\cup B, A^{c} \cap B^{c}, X\}$.
Es muss \(A^{c} \cap B^{c}\) in D liegen, da \((A\cup B)^c=A^{c} \cap B^{c}\).
Ferner muss \(A^{c} \cup B^{c}\) in D liegen, da \(A^{c} \cup B^{c}=X\). Das heißt aber nicht, dass \(A^c\) und \(B^c\) disjunkt sind.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Gast123
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-07
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Gast123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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