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Strukturen und Algebra » Gruppen » semidirektes Produkt - symmetrische Gruppe
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Universität/Hochschule semidirektes Produkt - symmetrische Gruppe
hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-05


Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:
Zeige, dass die symmetrische Gruppe \(S_n \) das semidirekte Produkt von\(A_n\) und \(<(12)> \) ist.
Es ist ja \(<(12)> = \{id, (12)\}\). Also muss ich ja eigentlich nur noch zeigen, dass
\(A_n *\{(12)\} = S_n\A_n \) ist, bzw dass das die Menge aller Permutation mit Signum -1 ist. Der Rest ist ja klar.
Hat jemand einen Tipp wie man das zeigen kann?

LG



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo,
das Signum einer Permutation gibt doch an, ob die Anzahl der Fehlstände
gerade oder ungerade ist, und die signumfunktion ist Multiplikativ.
Das Signum von (1 2) ist natürlich -1. Also...



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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Danke erstmal für die Antwort.
Dass alle Permutationen in der Gruppe das Signum -1 haben müssen, hab ich mir schon aufgeschrieben. Ich dachte nur, dass ich noch irgendwie zeigen soll, dass dann auch wirklich \( \frac{n!}{2} \) verschiedene Elemente in der Gruppe sind, bzw beim multiplizieren mit (12) nichts doppelt vorkommt. Ich hab das so gezeigt:
Seien \( \sigma, \phi \in A_n \) beliebig und \( \sigma \neq \phi\). Nun muss ich zeigen, dass dann auch
\( \sigma (12) \neq \phi (12) \)
Angenommen \( \sigma \neq \phi \) aber
\( \sigma (12) = \phi (12) \) | *(12)
\( \sigma = \phi \) Widerspruch dazu, dass die beiden verschieden sein sollen, also sind alle \( \frac{n!}{2} \) Elemente verschieden mit Signum -1.
Also das hätte ich so aufgeschrieben, aber wirkt mir irgendwie zu einfach. Ist das denn richtig?

LG




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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05


Hallo,
beim multiplizieren kommt tatsächlich nichts doppelt vor, wie du
richtig gezeigt hast, und weil die signumfunktion nur 1 oder -1 annehmen
kann und wenn man eine gerade Permutation mit einer ungeraden Permutation
wie (1 2) verknüpft, das Ergebnis ungerade sein muss,bleibt nur die
Möglichkeit, das A_n n!/2 Elemente haben muss.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-06


2020-12-05 12:19 - hanuta2000 im Themenstart schreibt:
Also muss ich ja eigentlich nur noch zeigen, dass [...]

Das müsstest du begründen, dass das ausreicht.



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