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Universität/Hochschule J Randdichte berechnen
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier

Ich möchte gerne wissen, ob das Integral
\[
f_{X_1}(x_1)
    = \pi^2 \int_{-1}^{1} \mathbf{1}_{x_1^2+x_2^2 \leq 1}(x_1,x_2) \mathrm{d}x_2
\] explizit berechnet werden kann bzw. wie ich dieses vereinfachen oder weiter umformen kann.
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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo,

ja, es sollte doch
\[
\int_{-1}^{1} \mathbf{1}_{x_1^2+x_2^2 \leq 1}(x_1,x_2) \mathrm{d}x_2
=\int_{-\sqrt{1-x_1^2}}^{\sqrt{1-x_1^2}} 1 \mathrm{d}x_2 = \ldots
\] gelten, oder?



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05

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Hierzu noch die nötigen Zusatzinfos:

Randbemerkung:
Sei $\mathbf{1}_{P(\cdot)}:\R^n \to \{0,1\}$ die Indikatorfunktion mit
\[
\begin{align*}
    \mathbf{1}_{P(x)}(x)
    =
    \begin{cases}
        1 &\text{, falls $P(x)$ wahr ist} \\
        0 &\text{, sonst}
    \end{cases}
\end{align*}
\] Beispiel: $\mathbf{1}_{x \geq 0}(x)$ ist im Fall $n=1$ die Heaviside-Funktion.


Zur Aufgabe:
Man betrachte den Zufallsvektor $X=(X_1,X_2)$ mit Werten in $\R^2$.

Die Dichtefunktion von $X$ habe ich berechnet als
\[
f_X(x_1,x_2) = \pi^2 \cdot \mathbf{1}_{x_1^2 + x_2^2 \leq 1}(x_1,x_2)
\] und diese sei als korrekt vorausgesetzt (denn die Berechnung einer Randdichte funktioniert ja unabhängig von der Aufgabenstellung, wenn eine Dichte gegeben ist). Gerne möchte ich nun die Randdichten bestimmen. Für die Zufallsvariable $X_1$ ergibt dies genau das im Originalbeitrag angegebene Integral (da $f_X$ null ist für $|x_1|,|x_2|>1$)


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05

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2020-12-05 15:30 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

ja, es sollte doch
\[
\int_{-1}^{1} \mathbf{1}_{x_1^2+x_2^2 \leq 1}(x_1,x_2) \mathrm{d}x_2
=\int_{-\sqrt{1-x_1^2}}^{\sqrt{1-x_1^2}} 1 \mathrm{d}x_2 = \ldots
\] gelten, oder?

Hey ochen

Das habe ich mir schon fast gedacht. Klingt sinnvoll.😁
Stimmt das, dass ich aufgrund der "rotationssymmetrie" der Dichtefunktion $f_X$ sagen kann, dass die Randdichte der anderen Vektorkomponente $X_2$ gleich lautet? (bzw. indem man bei bisheriger Rechnung $x_2$ und $x_1$ vertauscht)
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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-05

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2020-12-05 15:30 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
 
Zur Aufgabe:
Man betrachte den Zufallsvektor $X=(X_1,X_2)$ mit Werten in $\R^2$.

Die Dichtefunktion von $X$ habe ich berechnet als
\[
f_X(x_1,x_2) = \pi^2 \cdot \mathbf{1}_{x_1^2 + x_2^2 \leq 1}(x_1,x_2)
\]  
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Moin Phoensie, dein Ergebnis kommt mir nicht koscher vor.  $\mathbf{1}_{x_1^2 + x_2^2 \leq 1}(x_1,x_2)$ beschreibt den Einheitskreis, dessen Flaeche $\pi$ ist ...

vg Luis
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Danke für die Anmerkung, Luis.

Natürlich sollte dort ein Faktor $\frac{1}{\pi}$ statt $\pi^2$ stehen...😁
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