Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Mathematik » Geometrie » Dreieck Parallelogramm
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Dreieck Parallelogramm
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-05


Hallo,

ich sehe gerade folgende Aufgabe, welche aus einer älteren Klasur stammt:
In einem Dreieck ABC mit Schwerpunkt S bilden Mittelpunkte der Strecken AS, BS, BC, AC ein Parallelogramm.

Ich wollte mal fragen, ob ihr mir hier helfen könnt?
Wie geht ihr an solche Aufgaben ran? Zeichnet ihr diese zuerst und überlegt dann was zu beweisen ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5758
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo,

mit dem Satz, wonach der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 von der jeweiligen Seitenmitte aus gesehen teilt, ist man hier eigentlich fast fertig. Die Diagonalen des durch die vier Punkte gebildeten Vierecks liegen auf den Seitenhalbierenden des Dreiecks und teilen es in vier Dreiecke auf.

Was kann man über diese Dreiecke sagen? Wenn du das begründen kannst, hast du die Behauptung im Prinzip gezeigt.


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Super vielen Dank für die Hilfe!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 296
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hier mal ein Bild:

<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5.5} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck
% Seitenhalbierende
\draw[] (A) -- ($(B)!0.5!(C)$) coordinate[label=right:$M_a$](Ma);
\draw[] (B) -- ($(A)!0.5!(C)$) coordinate[label=left:$M_b$](Mb);

% Schwerpunkt
\pgfmathsetmacro\s{2/3}
\coordinate[label=below:$S$] (S) at ($(A)!\s!(Ma)$);

% Parallelogramm
\coordinate[label=below:$M_{1}$] (M1) at ($(A)!0.5!(S)$);
\coordinate[label=below:$M_{2}$] (M2) at ($(B)!0.5!(S)$);

\draw[red, local bounding box=parallelogramm] (Ma) -- (Mb) -- (M1) -- (M2) --cycle;

%\draw[blue] (C) -- (M1);
%\draw[blue] (C) -- (M2);

%% Punkte
\foreach \P in {Ma,Mb,S,M1, M2} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{min(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-5mm,0)$)}]
%% Strecken
%\tikzset{YShift/.style={yshift=-1 cm}}
%\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*6mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm
%};
%}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};
%
%
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (5) \\ \hline
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\ \hline
%%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
%\end{array}$
%};


\end{tikzpicture}

</math>


Zum Beweis des Parallelogramms sollte es reichen mit dem Strahlensatz bzw. dessen Umkehrung (Parallelität) zu argumentieren.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1926
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-05


Huhu Rurien9713,

2020-12-05 16:43 - Rurien9713 im Themenstart schreibt:
Wie geht ihr an solche Aufgaben ran? Zeichnet ihr diese zuerst [...]

Das ist immer eine gute Idee.

2020-12-05 16:43 - Rurien9713 im Themenstart schreibt:
[...] und überlegt dann was zu beweisen ist?

Nun - eigentlich gibt es da nicht viel zu überlegen. Du musst halt die Definition eines Parallelogramms nachweisen. Wie habt ihr dieses Viereck definiert? Falls eure Definition z.B. "Ein Viereck, in dem sich die Diagonalen halbieren" ist, dann bist du

2020-12-05 16:54 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
mit dem Satz, wonach der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 von der jeweiligen Seitenmitte aus gesehen teilt, ist man hier eigentlich fast fertig.

nicht nur fast fertig.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Vielen Dank ich glaube ich benutze erst einmal die Argumentationsweise mit den Strahlensätzen und schaue dann weiter.

Aber vielen Dank für die vielen hilfreichen Antworten:)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Lisamayer98
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-06


mach das bro



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Guten Abend zsm,
Also ich habe nun das folgende herausbekommen:

|SF|\|AF|= |SG|\|GB| wenn ich nun meine Seiten umschreibe habe ich das folgende:
1/3*|AF|\|AF|=  1/3*|GB|\||GB| ALSO 1/3=1/3 also folgt dass GF||PE
Nun muss ich aber noch die anderen 2 Seiten zeigen, dass diese parallel sind.
Gehe ich da genauso dran oder anders? Denn wenn ich es versuche, kommt bei mir genau das gleiche raus nur mit 2/3



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 296
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-06


2020-12-06 20:50 - Rurien9713 in Beitrag No. 7 schreibt:
Also ich habe nun das folgende herausbekommen:

|SF|\|AF|= |SG|\|GB| wenn ich nun meine Seiten umschreibe habe ich das folgende:
1/3*|AF|\|AF|=  1/3*|GB|\||GB| ALSO 1/3=1/3 also folgt dass GF||PE
Nun muss ich aber noch die anderen 2 Seiten zeigen, dass diese parallel sind.
Gehe ich da genauso dran oder anders? Denn wenn ich es versuche, kommt bei mir genau das gleiche raus nur mit 2/3

Es ist unklar, was Du machst. Zu soetwas ist eine Figur anzugeben, aus der alle Bezeichnungen hervorgehen.  
Du hast in Beitrag No.3 eine Figur bekommen; Du kannst diese quotieren, auch deren Bezeichnungen verwenden bzw. im Code der Graphik andere Bezeichnungen editieren.

Am Rande: Warum Du manchmal  '\' als Divisionszeichen, neben dem üblichen '/', verwendest ist auch unklar.


Auf jeden Fall ist das hanebüchen: Du postest einfach irgendwas und gehst davon aus, dass das jeder nachvollziehen kann.
Du willst eine Ausbildung in die Richtung machen, dann wirst Du wohl lernen müssen, wie man gescheiten Formelsatz pflegt und wie man Graphiken erstellt.

<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5.5} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck
% Seitenhalbierende
\draw[] (A) -- ($(B)!0.5!(C)$) coordinate[label=right:$M_a$](Ma);
\draw[] (B) -- ($(A)!0.5!(C)$) coordinate[label=left:$M_b$](Mb);

% Schwerpunkt
\pgfmathsetmacro\s{2/3}
\coordinate[label=below:$S$] (S) at ($(A)!\s!(Ma)$);

% Parallelogramm
\coordinate[label=below:$M_{1}$] (M1) at ($(A)!0.5!(S)$);
\coordinate[label=below:$M_{2}$] (M2) at ($(B)!0.5!(S)$);

\draw[red, local bounding box=parallelogramm] (Ma) -- (Mb) -- (M1) -- (M2) --cycle;

% Annotationen
\tikzset{  anno/.style={ midway, above, sloped, inner sep=1pt},    }
\path[] (A) -- (Mb) node[anno]{$b/2$};
\path[] (Mb) -- (C) node[anno]{$b/2$};
\path[] (B) -- (Ma) node[anno]{$a/2$};
\path[] (Ma) -- (C) node[anno]{$a/2$};

\path[] (A) -- (M1) node[anno]{$x$};
\path[] (M1) -- (S) node[anno]{$x$};
\path[] (S) -- (Ma) node[anno]{$x$};

\path[] (B) -- (M2) node[anno]{$y$};
\path[] (M2) -- (S) node[anno]{$y$};
\path[] (S) -- (Mb) node[anno]{$y$};

%% Punkte
\foreach \P in {Ma,Mb,S,M1, M2} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{min(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-5mm,0)$)}]
%% Strecken
%\tikzset{YShift/.style={yshift=-1 cm}}
%\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*6mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm
%};
%}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};
%
%
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (5) \\ \hline
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\ \hline
%%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
%\end{array}$
%};

\end{tikzpicture}</math>

1. Parallelität $|M_a M_b| \parallel  |M_1 M_2|$.

$\dfrac{|CB|}{|CM_a|} = \dfrac{|CA|}{|CM_a|}
= \dfrac{a}{a/2} = \dfrac{b}{b/2}  = \dfrac{2}{1}$.

Dann muss nach der Umkehrung des Strahlensatzes $
|M_a M_b| \parallel  |AB|$ gelten.

Da wegen $\dfrac{|SA|}{|AM_1|} = \dfrac{|SB|}{|SM_2|}
=\dfrac{2x}{x} = \dfrac{2y}{y}  = \dfrac{2}{1}$ auch $
|M_1 M_2| \parallel  |AB|$  
gilt, ist auch  $
|M_a M_b| \parallel  |M_1 M_2|$.

2. Parallelität $|M_1 M_b| \parallel  |M_2 M_a|$ kann ähnlich gezeigt werden.





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-09


Hallo!
Vielen Dank für die nette Hilfe. Ich habe nun versucht die Parallelität hier  |M1Mb|∥|M2Ma| ebenfalls zu zeigen.

Ich habe hier den 1.Strahlensatz bzw. sein Umkehrung genutzt und das Folgende erhalten:

|SMa| / |MaM1| = |SM2| / |M2Mb|  Also:
x/2x = y/2y =1/2

Und somit ist die Parallelität auch schon gezeigt oder?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1449
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-09


Hallo

Das kann man niher denke ich so nicht machen, denn hier setzt du einfach Parallelität voraus. Das wäre so ähnlich, wie ein Zirkelschluss. Zeichne eine Gerade durch S und C und beachte, dass M1 AS halbiert und Mb AC.

Gruß Caban



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rurien9713 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]