Definition: Das Dreieck $\Delta H_aH_bH_c$ aus den Fußpunkten $H_a,~H_b,~H_c$ der Höhen wird Höhenfußpunktdreieck genannt.

Satz: Die Seitenlängen $a_H =|H_bH_c|$, $b_H =|H_aH_c|$ und $c_H =|H_aH_b|$ des Höhenfußpunktdreiecks berechnen sich mit den Größen des Ausgangsdreiecks zu
$\boxed{  \begin{array}{l l l}
a_H = a\cos(\alpha),
  & b_H = b\cos(\beta),
  & c_H = c\cos(\gamma)
\end{array}  }$





Satz: (1) Der Schnittwinkel zweier Höhen ist so groß wie der nicht anliegende Innenwinkel. Demnach hat man Höhenschnittpunkt die Winkel




(2) Entsprechend ist ein einer Höhe anliegender Winkel an der Ecke, von der sie ausgeht, so groß wie der Komplementwinkel des jeweils gegenbüberliegenden Innenwinkels des Ausgangsdreiecks, wobei

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
\overline{\alpha} =90^\circ-\alpha,
   & \overline{\beta} =90^\circ-\beta,
       & \overline{\gamma}  =90^\circ-\gamma \\
\end{array}   }.$





Satz: Die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks $
{\alpha_H=\sphericalangle H_bH_aH_c}$, $
{\beta_H=\sphericalangle H_cH_bH_a}
$ und $
{\gamma_H=\sphericalangle H_aH_cH_b}
$ berechnen sich mit den Winkeln des Ausgangsdreiecks zu

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
\alpha_H =180^\circ -2\alpha,
  & \beta_H =180^\circ -2\beta,
  & \gamma_H =180^\circ -2\gamma
\end{array}  }$






Nach dem erweiterten Sinussatz berechnet sich der Umkreisradius eines Dreiecks zu $\boxed{   R=\dfrac{a}{2\sin(\alpha)}   }.$





Satz: Der Umkreisradius $R_H$ des Höhenfußpunktdreiecks ist halb so groß wie der Umkreisradius des Ausgangsdreicks, also $\boxed{  R_H =\frac12 R   }.$

Damit ist zugleich gezeigt:
Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an einer Dreiecksseite, so liegt der Spiegelpunkt auf dem Umkreis.

Satz: Sei $H$ der Höhenschnittpunkt und seien $h_A =|AH|$, $h_B =|BH|$ und $h_C =|CH|$ die (auf der Seite der Dreiecksecken liegenden) oberen Höhenabschnitte. Seien ferner $a_B, a_C,~ b_A, b_C,~ c_A, c_B$ die Seitenabschnitte der Höhen (siehe oben)



Dann erfüllen die oberen Höhenabschnitte die Beziehungen

$\boxed{   \begin{array}{l l l l l l l l l}
h_A   &=\dfrac{b\, b_A}{h_a} &=\dfrac{c\, c_A}{h_a}
  &=\dfrac{a\, b_A}{h_b} &=\dfrac{a\, c_A}{h_c}  
  &=\dfrac{b_A}{a_B}h_B  &=\dfrac{c_A}{a_C}h_C
  &=\dfrac{c_A}{\sin(\beta)} &=\dfrac{b_A}{\sin(\gamma)} \\[1.2em]
h_B   &=\dfrac{a\, a_B}{h_b}  &=\dfrac{c\, c_B}{h_b}
  &=\dfrac{b\, a_B}{h_a}   &=\dfrac{b\, c_B}{h_c}  
  &=\dfrac{a_B}{b_A}h_A  &=\dfrac{c_B}{b_C}h_C    
  &=\dfrac{c_B}{\sin(\alpha)} &=\dfrac{a_B}{\sin(\gamma)} \\[1.2em]
h_C   &=\dfrac{a\, a_C}{h_c} &=\dfrac{b\, b_C}{h_c}
  &=\dfrac{c\, b_C}{h_b} &=\dfrac{c\, a_C}{h_a}
  &=\dfrac{a_C}{c_A}h_A &=\dfrac{b_C}{c_B}h_B
  &=\dfrac{b_C}{\sin(\alpha)} &=\dfrac{a_C}{\sin(\beta)}
\end{array}   }$

Für die (auf der Seite der Dreiecksseiten liegenden) unteren Höhenabschnitte $\overline{h}_A =|HH_a|$, $\overline{h}_B =|HH_b|$ und $\overline{h}_C =|HH_c|$ gilt entsprechend

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
\overline{h}_A = h_a -h_A,
   & \overline{h}_B = h_b -h_B,
   & \overline{h}_C = h_c -h_C
\end{array}   }$

Beweis:

Aus der Betrachtung der Winkel am Höhenschnittpunkt (siehe oben) folgt ohne Weiteres

$
\sin(\alpha) =\dfrac{h_b}{c} =\dfrac{h_c}{b}
  =\dfrac{b_C}{h_C} =\dfrac{c_B}{h_B} \\[1em]
\sin(\beta) =\dfrac{h_a}{c} =\dfrac{h_c}{a}
  =\dfrac{a_C}{h_C} =\dfrac{c_A}{h_A} \\[1em]
\sin(\gamma) =\dfrac{h_a}{b} =\dfrac{h_b}{a}
  =\dfrac{a_B}{h_B}=\dfrac{b_A}{h_A} \hspace{11mm} \square
$


Mit Hilfe der Flächenformeln

$F ~=\dfrac{ah_a}{2} ~=\dfrac{bh_b}{2} ~=\dfrac{ch_c}{2} $

und

${F
~=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}
~=\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{4}
~=\dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{4}}$



also

$\begin{array}{l l l}
4F &=\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}  &=2ch_c \\[1em]
    &=\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}   &=2bh_b \\[1em]
    &=\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}   &=2ah_a
\end{array}$

berechnen sich die Höhen über die Seitenlängen zu

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
h_a = \dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2a},
& h_b =\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{2b},
& h_c=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2c}
\end{array}  }$

Damit wird z.B. für den oberen Höhenabschnitt $h_B$ in Verbindung mit dem Seitenabschnitt $a_B =\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ (siehe oben) der Höhe $h_a$

$h_B
=\dfrac{a\, a_B}{h_b}
=\dfrac{a\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}}
             {\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{2b}}
=\dfrac{b (a^2+c^2-b^2)}{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}$

Damit hat man für die oberen Höhenabschnitte die Formeln

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
h_A =\dfrac{a (b^2+c^2-a^2)}{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}},
& h_B =\dfrac{b (a^2+c^2-b^2)}{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}},
& h_C=\dfrac{c (a^2+b^2-c^2)}{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}
\end{array}  }$