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Mathematik » Geometrie » Zeigen, dass 2 Strecken gleich lang sind!
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Universität/Hochschule Zeigen, dass 2 Strecken gleich lang sind!
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-05


Hallo,

ich habe ein Dreieck ABC mit dem Umkreis k. Nun soll die Strecke des Höhenfüßpunktes Hb zum Punkt A genauso lang sein wie die Strecke des Höhenfußpunktes Hc zu A.
Also der 2. Schnittpunkt mit k ist hier gemeint.
Wie geht man hier vor um das zu beweisen? Kann man das mit Strahlensätzen irgendwie zeigen oder braucht man dafür etwas anderes?

Lg



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo,

wie bei allen Geometrie-Aufgaben, die du hier reingestellt hast, gilt:

Mach dir erst eine Skizze und versuche es dann erst einmal allein zu zeigen. Wahrscheinlich schaffst du viele Sachen auch ganz allein, aber du musst es wenigstens probieren.



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Alles klar das habe ich nun gemacht und bin auf die folgende Idee gekommen:

Wir wollen zeigen dass diese 2 Seiten gleich lang sind also das Dreieck AB'C' gleichschenklig ist.
Wir sehen uns die Sehne AB an und wissen nach dem Peripheriewinkelsatz, dass die Peripheriewinkel gleich sind.

Oder wir zeichen zusätzlich B'C' ein und sehen dass diese Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises k geht und können nun herausfinden, dass die Strecken jeweils die Länge r (Radius) haben. Sie haben also 2 gleiche Seiten und nach den Eigenschaften der gleichschenkligen Dreiecke müssten somit die Winkel an B' und C' übereinstimmen.

Hm also ich glaube mir fehlt irgendwo noch ein Schritt...
Oder sollte ich einen anderen Ansatz wählen?



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Hallo kann mir hier jemand helfen?



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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-06


Wie wäre es mit der Aufgabenstellung, und zwar

- im Originalwortlaut und
- komplett?


Gruß, Diophant



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Es sei ABC ein Dreieck mit dem Umkreis k. Es bezeichne C' den zweiten Schnittpunkt der Höhe hC mit k und B' den zweiten Schnittpunkt der Höhe hB mit k. Machen Sie eine Skizze.
Zeigen Sie, dass |AB'| = |AC'|

Also ich muss hier doch eigentlich zeigen, dass das Dreieck AB'C' gleichschenklig ist. Also dass Winkel C'B'A= Winkel AB'C' damit gilt AB'=AC'?



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-06


Hallo

Der Pherepheriewinkelsatz sollte hier helfen, aber für zwei unterschiedliche Schenkel mit gleicher Länge.

Gruß Caban



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Ja darauf bon ich auch gekommen. Nur habe ich ja schon einige Beiträge vorher beschrieben, dass ich bei meinen Gedanken nicht weiterkomme, wohl aber den Peripheriewinkelsatz benutzt habe...



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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Rurien9713,

mit dem Peripheriewinkelsatz kommt man hier IMO nicht weiter, da gebe ich dir recht.

So ganz einfach ist die Aufgabe offenbar nicht. Es gibt einen Satz über den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks und seinen Umkreis. Kommt dir ein solcher Satz in den Sinn, also habt ihr einen solchen Satz eventuell schon behandelt bzw. bewiesen?

Falls ja: mit dem solltest du weiterkommen: sei dazu \(H\) der Höhenschnittpunkt. Versuche dann zu beweisen, dass die Dreiecke \(AH_CH\) und \(AHH_B\) jeweils gleischschenklig sind.

Ist aber jetzt nur mal eine Idee, von der ich mir gerade relativ sicher bin, dass sie funktioniert. Ohne Garantie, insbesondere ohne eine, dass es nicht doch einfacher geht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Danke für die liebe Antwort.
Also wir haben den Satz gehabt dass sich die Höhen der jeweiligen Seiten in einem Punkt schneiden und wir haben auch etwas über den Umkreis eines Dreiecks gemacht bzw. ist das ja der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Nur weiß ich nicht genau wie mir dies was bringen soll...

Mein eigentlicher Ansatz wäre es ja gewesen, die gleichschenkligkeit bzw. damit die Gleichheit 2er Winkel zu zeigen?



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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-06


Hallo,

spiegle einmal den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks an einer der Dreieckseiten und mache dir klar, wo der Bildpunkt liegt...

Dann siehst du auch ein, wie mein Hinweis gemeint war.


Gruß, Diophant



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Caban
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-06


Hallo

Ich bin immer noch übezeugt, dass der Pherepheriewinkelsatz absolut ausreicht, jedoch mit 2 verschiedenen Sehen gleicher Länge und Innenwinkelsatz.


Gruß Caban



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Danke für deine Mühen!
Hm also so ganz Blick ich aber nicht durch weil ich dich eigentlich den anderen Winkel bei B‘ benötige...
Also ich kann das auf deiner Skizze nicht ganz erkennen was welche Sehne sein soll.

Oder meinst du dass man vielleicht rückwärts irgendwie daran gehen könnte und dann auf die gleiche Länge der Sehnen AB‘ und AC‘  erhält?



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Diophant
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Mitteilungen: 5728
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-06


Hallo,

beide Ansätze hängen sowieso aufs engste zusammen. Schaue dir dazu einmal diesen älteren Thread an, und dort insbesondere Beitrag #4. Vielleicht macht es ja dann 'klick'.


Gruß, Diophant



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viertel
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Mitteilungen: 27689
Herkunft: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Ohne mir die bisherigen Antworten durchgelesen zu haben:



Die beiden grünen Dreiecke sind ähnlich (siehe deine vorherige Aufgabe Dreiecke in Sehnenviereck).
Damit sind die beiden gelben Winkel bei $B$ und $C$ gleich. Sie werden außerdem durch die beiden blauen Strecken halbiert. Also insbesondere sind damit die Winkel $\angle B'CA$ und $\angle ABC'$ gleich!
Da diese beiden Winkel Peripheriewinkel zu $AB'$ b.z.w. $AC'$ sind, gilt $AB'=AC'$.


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-12-07


ähnlich wie viertel gedacht, wenn man zeigen würde das hs über jede seite gespiegelt auf dem umkreis landet... wäre es nicht schwer zu zeigen das
A-hs = A-B' = A-C'







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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-07


Super danke für die vielen Antworten!



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-12-12



Alternativ kann man die fraglichen Strecken auch konkret ausrechnen.


<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\aufg{1} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{1}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{1}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{1}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\rechtewinkel{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hdreieck{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\humkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))}

% Berechnung ==========================
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}

% Seitenlngen und Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\aH}{\a*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\bH}{\b*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\cH}{\c*cos(\Gamma)}

\pgfmathsetmacro{\AlphaH}{180-2*\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\BetaH}{180-2*\Beta}
\pgfmathsetmacro{\GammaH}{180-2*\Gamma}

% Umkreisradius des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\RH}{\aH/(2*sin(\AlphaH))}
\pgfmathsetmacro{\McHUH}{\RH*abs(cos(\GammaH))} %
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
%\ifnum\aufg=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
%\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha);
\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};   \fi
%\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb);
\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\ifnum\habschnitte=1 \node[anno, label=-135:$H_c$] at (Hc) {};
\else \node[anno, label=below:$H_c$] at (Hc) {}; \fi

\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};
\fi

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[label=130:$H$](H);

%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[near end, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[anno, midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[anno, near end, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[anno, pos=0.5, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

%\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[anno, pos=0.7, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
%\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\aufg=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};

\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\path[blue] (Ha) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$b_H$};
\path[blue] (Ha) -- (Hb) node[anno, pos=0.7, sloped, above]{$c_H$};
\path[blue] (Hb) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$a_H$};
\fi

\ifnum\humkreis=1
\coordinate[label=](McH) at ($(Ha)!0.5!(Hb)$);
\path[draw=none] (McH)  -- ($(McH)!\McHUH cm!-90:(Ha)$) coordinate[label=-90:$U_H$](UH);
\draw[red] (UH) circle[radius=\RH];
\draw[fill=black!1] (UH) circle (1.5pt);
\draw[->] (UH) -- +(-45:\RH) node[near end, below, sloped]{$R_H$};
\fi

%% Seitenabschnitte der Hhen
\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};
\fi

\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%\fi
\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};


%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs, Has} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\aufg=1
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\else
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha, Has} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
a_H = \aH \text{ cm}   \\
b_H = \bH \text{ cm}   \\
c_H = \cH \text{ cm}   \\ \hline
\alpha_H = \AlphaH^\circ   \\
\beta_H = \BetaH^\circ    \\
\gamma_H = \GammaH^\circ \\   \hline
R_H = \RH \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi

%%% Test
%\draw[blue, thick] (A) -- ($(A)!\hA cm!(Hcs)$);
%\draw[blue, thick] (A) -- ($(A)!\hA cm!(Hbs)$);
\end{tikzpicture}
</math>


Satz: Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an einer Dreiecksseite, so liegt der Spiegelpunkt auf dem Umkreis.

Beweis.


Berechnung der Seitenabschnitte der Höhen.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\aufg{0} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{0}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{0}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
% sonstiges:
\def\hdreieck{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

% Berechnung ==========================
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
\ifnum\aufg=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};

\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[label=-45:$H_c$] (Hc);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[label=130:$H$](H);

%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[midway, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[midway, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[pos=0.6, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[midway, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\aufg=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};
\fi


\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\fi

%% Seitenabschnitte der Hhen
\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};
\fi

\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%\fi
\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};


%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\fi

\ifnum\aufg=1
\foreach \P in {Hb, Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\else
\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Has} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\fi
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\fi

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>

Durch Anwendung elementarer trigonometrischer Beziehungen folgt

$\boxed{   \begin{array}{l@{\hspace{11mm}} l@{\hspace{11mm}}   l}
a_B =c\cos(\beta),  & b_A =c\cos(\alpha),        & c_A =b \cos(\alpha) \\
a_C =b\cos(\gamma), & b_C =a\cos(\gamma),  & c_B =a\cos(\beta)   \\[1em]
a\,  a_B =c\,  c_B,
& a\, a_C =b\,  b_C,
&  b\,  b_A = c\,  c_A    
\end{array}    }$

Mit Hilfe des Kosinussatzes

$\begin{array}{l l l}
a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\alpha),
  & b^2 = a^2+c^2-2ac\cos(\beta),
  & c^2 = a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)
\end{array}$

folgt auch eine Darstellung über die Seitenlängen

$\boxed{   \begin{array}{l@{\hspace{11mm}} l@{\hspace{11mm}}   l}
a_B =\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a},
        & b_A =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2b},
                & c_A =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}   \\[1em]    
a_C =\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a},
        & b_C =\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2b},
                & c_B =\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2c}      
\end{array}    }$




Definition: Das Dreieck $\Delta H_aH_bH_c$ aus den Fußpunkten $H_a,~H_b,~H_c$ der Höhen wird Höhenfußpunktdreieck genannt.

Satz: Die Seitenlängen $a_H =|H_bH_c|$, $b_H =|H_aH_c|$ und $c_H =|H_aH_b|$ des Höhenfußpunktdreiecks berechnen sich mit den Größen des Ausgangsdreiecks zu
$\boxed{  \begin{array}{l l l}
a_H = a\cos(\alpha),
  & b_H = b\cos(\beta),
  & c_H = c\cos(\gamma)
\end{array}  }$

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\aufg{0} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{0}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{0}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\rechtewinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hdreieck{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\humkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\Hwinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

%% Stumpwinkliges Dreieck
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5}
%\pgfmathsetmacro{\b}{9}
%\pgfmathsetmacro{\c}{5.7}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))}
% Berechnung ==========================
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}

% Seitenlngen und Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\aH}{\a*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\bH}{\b*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\cH}{\c*cos(\Gamma)}

\pgfmathsetmacro{\AlphaH}{180-2*\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\BetaH}{180-2*\Beta}
\pgfmathsetmacro{\GammaH}{180-2*\Gamma}

% Umkreisradius des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\RH}{\aH/(2*sin(\AlphaH))}
\pgfmathsetmacro{\McHUH}{\RH*abs(cos(\GammaH))} %
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
\ifnum\aufg=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha);
\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};   \fi
\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb);
\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\ifnum\habschnitte=1 \node[anno, label=-135:$H_c$] at (Hc) {};
\else \node[anno, label=below:$H_c$] at (Hc) {}; \fi


\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};
\fi

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[](H);
\ifnum\Hwinkel=1 \node[anno, label={[xshift=8mm]:$H$}] at (H) {};
\else \node[label=130:$H$] at (H) {}; \fi


%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[near end, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[anno, midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[anno, near end, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[anno, pos=0.5, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[anno, pos=0.7, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\aufg=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};
\fi


\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\path[blue] (Ha) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$b_H$};
\path[blue] (Ha) -- (Hb) node[anno, pos=0.7, sloped, above]{$c_H$};
\path[blue] (Hb) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$a_H$};
\fi

\ifnum\humkreis=1
\coordinate[label=](McH) at ($(Ha)!0.5!(Hb)$);
\path[draw=none] (McH)  -- ($(McH)!\McHUH cm!-90:(Ha)$) coordinate[label=-90:$U_H$](UH);
\draw[red] (UH) circle[radius=\RH];
\draw[fill=black!1] (UH) circle (1.5pt);
\draw[->] (UH) -- +(-45:\RH) node[near end, below, sloped]{$R_H$};
\fi

%% Seitenabschnitte der Hhen
\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};
\fi

\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%\fi
\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};


%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\aufg=1
\foreach \P in {Hb, Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\else
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha, Has} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi


% Winkel am Hhenschnittpunkt
\ifnum\Hwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta$",
] {angle =A--H--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta$",
] {angle =Ha--H--C};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha$",
] {angle =Hc--H--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha$",
] {angle =C--H--Hb};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma$",
] {angle =Hb--H--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma$",
] {angle =B--H--Ha};
\fi%======================

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
a_H = \aH \text{ cm}   \\
b_H = \bH \text{ cm}   \\
c_H = \cH \text{ cm}   \\ \hline
\alpha_H = \AlphaH^\circ   \\
\beta_H = \BetaH^\circ    \\
\gamma_H = \GammaH^\circ \\   \hline
R_H = \RH \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>

Beweis.

Nach dem Kosinussatz und mit Hilfe der Formeln für die Seitenabschnitte der Höhen (siehe oben) ist

$\begin{array}{l l }
a_H^2 &= b_A^2 +c_A^2 -2 b_A c_A \cos(\alpha) \\
&= c^2\cos^2(\alpha) + b^2\cos^2(\alpha)
      - 2 c\cos(\alpha) b\cos(\alpha) \cos(\alpha) \\
&=\bigl( b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) \bigr) \cos^2(\alpha) \\
&= a^2  \cos^2(\alpha) \hspace{11mm} \square
\end{array}$
Entsprechend für die anderen Seitenlängen des Höhenfußpunktdreiecks.



Satz: (1) Der Schnittwinkel zweier Höhen ist so groß wie der nicht anliegende Innenwinkel. Demnach hat man Höhenschnittpunkt die Winkel


<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
\def\HabschnitteUnten{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\HabschnitteOben{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\res{1} %   1 "yes",  0 "no"
\def\rescolor{1} %   1 "yes",  0 "no"
\def\hwinkelbew{0} %   1 "yes",  0 "no"

\ifnum\rescolor=1
\tikzset{  result/.style={red}  }
\else
\tikzset{  result/.style={}  }
\fi

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\v}{0.8} %
\pgfmathsetmacro{\a}{\v*9} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\v*7.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\v*8} %

%\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
%\pgfmathsetmacro{\b}{4} %
%\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
%\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}


\pgfmathsetmacro{\x}{\aB/\a}
\pgfmathsetmacro{\y}{\bA/\b}

\pgfmathsetmacro{\p}{\y/(\x+\y-\x*\y)}
\pgfmathsetmacro{\q}{\x*\p/\y}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;


% Annotationen - Dreieck
% Hoehenfupunkte (mit Ecktransversalenmethode)
\coordinate[label=right:$H_a$] (Ha) at ($(B)!\x!(C)$);
\coordinate[label=left:$H_b$] (Hb) at ($(A)!\y!(C)$);
\coordinate[label=below:$H_c$] (Hc) at ($(A)!(C)!(B)$);
\coordinate[label={[right=6mm]:$H$}] (H) at ($(B)!\q!(Hb)$);

% Hhen
\draw[] (A) -- (Ha);
\draw[] (B) -- (Hb);
\draw[] (C) -- (Hc);

\ifnum\HabschnitteOben=1
\path[] (A) -- (Ha) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$h_A$};
\path[] (B) -- (Hb) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$h_B$};
\path[] (C) -- (Hc) node[pos=0.3, right]{$h_C$};
\fi

\ifnum\HabschnitteUnten=1
\path[] (Ha) -- (H) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\path[] (Hb) -- (H) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$\overline{h}_B$};
\path[] (Hc) -- (H) node[pos=0.3, right]{$\overline{h}_C$};
\fi

\path[] (A) -- (Hb) node[anno, midway, sloped, above]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[anno, midway, sloped, above]{$b_C$};
\path[] (B) -- (Ha) node[anno, midway, sloped, above]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[anno, pos=0.4, sloped, above]{$a_C$};
\path[] (A) -- (Hc) node[midway,   below]{$c_A$};
\path[] (B) -- (Hc) node[midway,   below]{$c_B$};


% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =C--Hc--A};

% Winkel an den Ecken
\ifnum\hwinkelbew=1%==========================
\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_h$", result
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\alpha}_h$", result
] {angle =H--A--Hb};

\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta_h$", result
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}_h$", result
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma_h$", result
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,    result,
pic text={$\overline{\gamma}_h$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};
\else%==============================
\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\alpha}$", result
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\gamma}$", result
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\beta}$", result
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,    result,
pic text={$\overline{\alpha}$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};
\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}$", result
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\gamma}$", result
] {angle =H--A--Hb};
\fi%==========================

% Winkel am Hhenschnittpunkt
\ifnum\res=1
\def\x{\beta}
\def\y{\alpha}
\def\z{\gamma}
\else
\def\x{x}
\def\y{y}
\def\z{z}
\fi

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\x$", result
] {angle =A--H--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\x$", result
] {angle =Ha--H--C};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\y$", result
] {angle =Hc--H--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\y$", result
] {angle =C--H--Hb};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\z$",   result
] {angle =Hb--H--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\z$", result
] {angle =B--H--Ha};

%% Punkte
\foreach \P in {Ha, Hb, Hc, H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
</math>

(2) Entsprechend ist ein einer Höhe anliegender Winkel an der Ecke, von der sie ausgeht, so groß wie der Komplementwinkel des jeweils gegenbüberliegenden Innenwinkels des Ausgangsdreiecks, wobei

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
\overline{\alpha} =90^\circ-\alpha,
   & \overline{\beta} =90^\circ-\beta,
       & \overline{\gamma}  =90^\circ-\gamma \\
\end{array}   }.$

Beweis.

Seien die Dreieckswinkel durch die Höhen in der Form $
\alpha=\alpha_h+\overline{\alpha}_h$, $
\beta=\beta_h+\overline{\beta}_h$ und $
\gamma=\gamma_h+\overline{\gamma}_h$ aufgeteilt

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
\def\HabschnitteUnten{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\HabschnitteOben{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\res{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\rescolor{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\hwinkelbew{1} %   1 "yes",  0 "no"

\ifnum\rescolor=1
\tikzset{  result/.style={red}  }
\else
\tikzset{  result/.style={}  }
\fi

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\v}{0.8} %
\pgfmathsetmacro{\a}{\v*9} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\v*7.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\v*8} %

%\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
%\pgfmathsetmacro{\b}{4} %
%\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
%\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}


\pgfmathsetmacro{\x}{\aB/\a}
\pgfmathsetmacro{\y}{\bA/\b}

\pgfmathsetmacro{\p}{\y/(\x+\y-\x*\y)}
\pgfmathsetmacro{\q}{\x*\p/\y}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;


% Annotationen - Dreieck
% Hoehenfupunkte (mit Ecktransversalenmethode)
\coordinate[label=right:$H_a$] (Ha) at ($(B)!\x!(C)$);
\coordinate[label=left:$H_b$] (Hb) at ($(A)!\y!(C)$);
\coordinate[label=below:$H_c$] (Hc) at ($(A)!(C)!(B)$);
\coordinate[label={[right=6mm]:$H$}] (H) at ($(B)!\q!(Hb)$);

% Hhen
\draw[] (A) -- (Ha);
\draw[] (B) -- (Hb);
\draw[] (C) -- (Hc);

\ifnum\HabschnitteOben=1
\path[] (A) -- (Ha) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$h_A$};
\path[] (B) -- (Hb) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$h_B$};
\path[] (C) -- (Hc) node[pos=0.3, right]{$h_C$};
\fi

\ifnum\HabschnitteUnten=1
\path[] (Ha) -- (H) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\path[] (Hb) -- (H) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$\overline{h}_B$};
\path[] (Hc) -- (H) node[pos=0.3, right]{$\overline{h}_C$};
\fi

\path[] (A) -- (Hb) node[anno, midway, sloped, above]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[anno, midway, sloped, above]{$b_C$};
\path[] (B) -- (Ha) node[anno, midway, sloped, above]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[anno, pos=0.4, sloped, above]{$a_C$};
\path[] (A) -- (Hc) node[midway,   below]{$c_A$};
\path[] (B) -- (Hc) node[midway,   below]{$c_B$};


% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =C--Hc--A};

% Winkel an den Ecken
\ifnum\hwinkelbew=1%==========================
\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_h$", result
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\alpha}_h$", result
] {angle =H--A--Hb};

\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta_h$", result
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}_h$", result
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma_h$", result
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,    result,
pic text={$\overline{\gamma}_h$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};
\else%==============================
\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\alpha}$", result
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\gamma}$", result
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\beta}$", result
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,    result,
pic text={$\overline{\alpha}$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};

\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}$", result
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\gamma}$", result
] {angle =H--A--Hb};
\fi%==========================

% Winkel am Hhenschnittpunkt
\ifnum\res=1
\def\x{\beta}
\def\y{\alpha}
\def\z{\gamma}
\else
\def\x{x}
\def\y{y}
\def\z{z}
\fi

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\x$", result
] {angle =A--H--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\x$", result
] {angle =Ha--H--C};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\y$", result
] {angle =Hc--H--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\y$", result
] {angle =C--H--Hb};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\z$",   result
] {angle =Hb--H--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\z$", result
] {angle =B--H--Ha};

%% Punkte
\foreach \P in {Ha, Hb, Hc, H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
</math>

dann entliest man für die Winkel $x,~ y,~ z$ am Höhenschnittpunkt das lineare Gleichungssystem
$\newcommand\gl[1]{\textsf{(#1)}}$

$\begin{array}{l l l l}
% prinzipiell mit multirow
\alpha_h +x =90^\circ &                                    &         &   \\
\overline{\alpha}_h +z =90^\circ
           & \Rightarrow & \alpha+x+z=180^\circ   &  \gl{1} \\
\beta_h +y =90^\circ &                                    &         &   \\
\overline{\beta}_h +z =90^\circ
           & \Rightarrow & \beta+y+z=180^\circ   &  \gl{2} \\
\beta_h +x =90^\circ &                                    &         &   \\
\overline{\gamma}_h +y =90^\circ
           & \Rightarrow & \gamma+x+y=180^\circ   &  \gl{3} \\
\end{array}$


Alternativ kann man die Vierecke betrachten, die der Höhenschnittpunkt mit den Fußpunkten der Höhen und den Ecken bildet, die jeweils zwei rechte Winkel haben.

$\gl{2} \Rightarrow~ z=180^\circ -\beta -y ~~\gl{2a}$

$\gl{3} \Rightarrow~ y=180^\circ -\gamma -x$ in $\gl{2a}$:

$z=\gamma -\beta +x$ in $\gl{1}:$

$\alpha  +x  +\gamma -\beta +x=180^\circ  
~\Leftrightarrow~
2x = \beta +180^\circ  -\alpha -\gamma
~\Leftrightarrow~
\underline{x=\beta}$ in $\gl{1}$:

$\alpha+\beta+z=180^\circ
~\Leftrightarrow~
\underline{z=\gamma}$ in $\gl{2}$:

$\beta +y +\gamma=180^\circ
~\Leftrightarrow~
\underline{y=\alpha} \hspace{11mm} \square$

Mit diesen Ergebnissen entliest man für die Teilungswinkel der Höhen ohne Weiteres

$\begin{array}{l l l}
\alpha_h =90^\circ-\beta,
   & \beta_h =90^\circ-\alpha,
       & \gamma_h =90^\circ-\beta \\
\overline{\alpha}_h =90^\circ-\gamma,
   & \overline{\beta}_h =90^\circ-\gamma,
       & \overline{\gamma}_h =90^\circ-\alpha \hspace{11mm}\square
\end{array}$





Satz: Die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks $
{\alpha_H=\sphericalangle H_bH_aH_c}$, $
{\beta_H=\sphericalangle H_cH_bH_a}
$ und $
{\gamma_H=\sphericalangle H_aH_cH_b}
$ berechnen sich mit den Winkeln des Ausgangsdreiecks zu

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
\alpha_H =180^\circ -2\alpha,
  & \beta_H =180^\circ -2\beta,
  & \gamma_H =180^\circ -2\gamma
\end{array}  }$

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\shabschnitte{0} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{0}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{0}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\winkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hwinkel{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hfuszwinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\rechtewinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hdreieck{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\humkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\Hwinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\HiwinkelBew{0}%  1 "yes",  0 "no"

%
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

\ifnum\HiwinkelBew=1
\tikzset{  color2/.style={red, fill=red!22},
color1/.style={blue, fill=blue!22},    }
\else
\tikzset{  color2/.style={},   color1/.style={}, }
\fi

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

%% Stumpwinkliges Dreieck
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5}
%\pgfmathsetmacro{\b}{9}
%\pgfmathsetmacro{\c}{5.7}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))}


% Berechnung ==========================
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}

% Seitenlngen und Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\aH}{\a*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\bH}{\b*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\cH}{\c*cos(\Gamma)}

\pgfmathsetmacro{\AlphaH}{180-2*\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\BetaH}{180-2*\Beta}
\pgfmathsetmacro{\GammaH}{180-2*\Gamma}

% Umkreisradius des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\RH}{\aH/(2*sin(\AlphaH))}
\pgfmathsetmacro{\McHUH}{\RH*abs(cos(\GammaH))} %
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
\ifnum\shabschnitte=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$)
\ifnum\habschnitte=1
coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha)
\else
coordinate[label=right:$H_a$] (Ha)
\fi;

\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};   \fi
\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$)
\ifnum\habschnitte=1
coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb)
\else
coordinate[label={left:$H_b$}] (Hb);
\fi;

\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\ifnum\habschnitte=1 \node[anno, label=-135:$H_c$] at (Hc) {};
\else \node[anno, label=below:$H_c$] at (Hc) {}; \fi


\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};
\fi

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[](H);
\ifnum\Hwinkel=1 \node[anno, label={[xshift=8mm]:$H$}] at (H) {};
\else \node[label=130:$H$] at (H) {}; \fi


%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[near end, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[anno, midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[anno, near end, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[anno, pos=0.5, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

\ifnum\shabschnitte=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[anno, pos=0.7, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\shabschnitte=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};
\fi


\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\path[blue] (Ha) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$b_H$};
\path[blue] (Ha) -- (Hb) node[anno, pos=0.7, sloped, above]{$c_H$};
\path[blue] (Hb) -- (Hc) node[anno, pos=0.6, sloped, below]{$a_H$};
\fi

\ifnum\humkreis=1
\coordinate[label=](McH) at ($(Ha)!0.5!(Hb)$);
\path[draw=none] (McH)  -- ($(McH)!\McHUH cm!-90:(Ha)$) coordinate[label=-90:$U_H$](UH);
\draw[red] (UH) circle[radius=\RH];
\draw[fill=black!1] (UH) circle (1.5pt);
\draw[->] (UH) -- +(-45:\RH) node[near end, below, sloped]{$R_H$};
\fi

% Thaleskreis
\ifnum\HiwinkelBew=1%======================
\coordinate[label={45:$M_b$}] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$);
\draw[thick, color1, fill=none] (Mb) circle[radius=0.5*\b];
\draw[-latex, color1, fill=none] (Mb) -- +(135:0.5*\b) node[anno, near end, sloped, above]{$b/2$};
\draw[fill=black!1] (Mb) circle (1.5pt);

\coordinate[label={-90:$M_a$}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick, color2, fill=none] (Ma) circle[radius=0.5*\a];
\draw[-latex, color2, fill=none] (Ma) -- +(11:0.5*\a) node[anno, near end, sloped, above]{$a/2$};
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (1.5pt);
\fi%================================

%% Seitenabschnitte der Hhen
\ifnum\shabschnitte=1 %\else
\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};

\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%\fi
\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};
\fi

%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\shabschnitte=1
\foreach \P in {Hb, Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\else
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi


% Winkel am Hhenschnittpunkt
\ifnum\Hwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta$",
] {angle =A--H--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta$",
] {angle =Ha--H--C};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha$",
] {angle =Hc--H--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha$",
] {angle =C--H--Hb};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma$",
] {angle =Hb--H--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma$",
] {angle =B--H--Ha};
\fi%======================

% Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\ifnum\HiwinkelBew=1%======================
%\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\alpha_1$", blue
%] {angle =Hb--Ha--H};
%\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\alpha_2$", blue
%] {angle =H--Ha--Hc};
%\draw pic [angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\beta_2$", blue
%] {angle =H--Hb--Ha};
%\draw pic [angle radius=4.5mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\beta_1$", blue
%] {angle =Hc--Hb--H};
\draw pic [angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma_2$", color2
] {angle =H--Hc--Hb};
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma_1$", color1
] {angle =Ha--Hc--H};
\else
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha_H$", blue
] {angle =Hb--Ha--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta_H$", blue
] {angle =Hc--Hb--Ha};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma_H$", blue
] {angle =Ha--Hc--Hb};
\fi%======================

% Hhenschnittwinkel an den Ecken
\ifnum\hwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\alpha}$",
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\gamma}$",  color2
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\beta}$",
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,
pic text={$\overline{\alpha}$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};

\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}$",
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\gamma}$", color1,
] {angle =H--A--Hb};
\fi%======================

% Winkel an den Hhenfupnkten
\ifnum\hfuszwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_1$",
] {angle =Hc--Ha--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_2$",
] {angle =C--Ha--Hb};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\beta_1$",
] {angle =Ha--Hb--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\beta_2$",
] {angle =A--Hb--Hc};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\gamma_1$",
] {angle =Hb--Hc--A};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\gamma_2$",
] {angle =B--Hc--Ha};
\fi%======================

%% Innenwinkel des Ausgangsdreiecks
\ifnum\winkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,
pic text={$\alpha$},  pic text options={xshift=13pt},
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.3,
draw,
pic text={$\beta$},  pic text options={yshift=4pt},
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.3,
draw,
pic text={$\gamma$},  pic text options={xshift=4pt},
] {angle =A--C--B};
\fi%======================



% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
a_H = \aH \text{ cm}   \\
b_H = \bH \text{ cm}   \\
c_H = \cH \text{ cm}   \\ \hline
\alpha_H = \AlphaH^\circ   \\
\beta_H = \BetaH^\circ    \\
\gamma_H = \GammaH^\circ \\   \hline
R_H = \RH \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>

Beweis.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\shabschnitte{0} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{0}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{0}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\winkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hwinkel{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hfuszwinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\rechtewinkel{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hdreieck{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\humkreis{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\Hwinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\HiwinkelBew{1}%  1 "yes",  0 "no"

%
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

\ifnum\HiwinkelBew=1
\tikzset{  color2/.style={red, fill=red!22},
color1/.style={blue, fill=blue!22},    }
\else
\tikzset{  color2/.style={},   color1/.style={}, }
\fi

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

%% Stumpwinkliges Dreieck
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5}
%\pgfmathsetmacro{\b}{9}
%\pgfmathsetmacro{\c}{5.7}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))}


% Berechnung ==========================
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}

% Seitenlngen und Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\aH}{\a*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\bH}{\b*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\cH}{\c*cos(\Gamma)}

\pgfmathsetmacro{\AlphaH}{180-2*\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\BetaH}{180-2*\Beta}
\pgfmathsetmacro{\GammaH}{180-2*\Gamma}

% Umkreisradius des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\RH}{\aH/(2*sin(\AlphaH))}
\pgfmathsetmacro{\McHUH}{\RH*abs(cos(\GammaH))} %
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
\ifnum\shabschnitte=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$)
\ifnum\habschnitte=1
coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha)
\else
coordinate[label=right:$H_a$] (Ha)
\fi;

\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};   \fi
\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$)
\ifnum\habschnitte=1
coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb)
\else
coordinate[label={left:$H_b$}] (Hb);
\fi;

\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\ifnum\habschnitte=1 \node[anno, label=-135:$H_c$] at (Hc) {};
\else \node[anno, label=below:$H_c$] at (Hc) {}; \fi


\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};
\fi

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[](H);
\ifnum\Hwinkel=1 \node[anno, label={[xshift=8mm]:$H$}] at (H) {};
\else \node[label=130:$H$] at (H) {}; \fi


%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[near end, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[anno, midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[anno, near end, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[anno, pos=0.5, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

\ifnum\shabschnitte=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[anno, pos=0.7, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\shabschnitte=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};
\fi


\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\path[blue] (Ha) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$b_H$};
\path[blue] (Ha) -- (Hb) node[anno, pos=0.7, sloped, above]{$c_H$};
\path[blue] (Hb) -- (Hc) node[anno, pos=0.6, sloped, below]{$a_H$};
\fi

\ifnum\humkreis=1
\coordinate[label=](McH) at ($(Ha)!0.5!(Hb)$);
\path[draw=none] (McH)  -- ($(McH)!\McHUH cm!-90:(Ha)$) coordinate[label=-90:$U_H$](UH);
\draw[red] (UH) circle[radius=\RH];
\draw[fill=black!1] (UH) circle (1.5pt);
\draw[->] (UH) -- +(-45:\RH) node[near end, below, sloped]{$R_H$};
\fi

% Thaleskreis
\ifnum\HiwinkelBew=1%======================
\coordinate[label={45:$M_b$}] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$);
\draw[thick, color1, fill=none] (Mb) circle[radius=0.5*\b];
\draw[-latex, color1, fill=none] (Mb) -- +(135:0.5*\b) node[anno, near end, sloped, above]{$b/2$};
\draw[fill=black!1] (Mb) circle (1.5pt);

\coordinate[label={-90:$M_a$}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick, color2, fill=none] (Ma) circle[radius=0.5*\a];
\draw[-latex, color2, fill=none] (Ma) -- +(11:0.5*\a) node[anno, near end, sloped, above]{$a/2$};
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (1.5pt);
\fi%================================

%% Seitenabschnitte der Hhen
\ifnum\shabschnitte=1 %\else
\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};

\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%\fi
\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};
\fi

%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\shabschnitte=1
\foreach \P in {Hb, Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\else
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi


% Winkel am Hhenschnittpunkt
\ifnum\Hwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta$",
] {angle =A--H--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta$",
] {angle =Ha--H--C};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha$",
] {angle =Hc--H--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha$",
] {angle =C--H--Hb};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma$",
] {angle =Hb--H--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma$",
] {angle =B--H--Ha};
\fi%======================

% Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\ifnum\HiwinkelBew=1%======================
%\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\alpha_1$", blue
%] {angle =Hb--Ha--H};
%\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\alpha_2$", blue
%] {angle =H--Ha--Hc};
%\draw pic [angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\beta_2$", blue
%] {angle =H--Hb--Ha};
%\draw pic [angle radius=4.5mm, angle eccentricity=1.5,
%draw,   "$\beta_1$", blue
%] {angle =Hc--Hb--H};
\draw pic [angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma_2$", color2
] {angle =H--Hc--Hb};
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma_1$", color1
] {angle =Ha--Hc--H};
\else
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\alpha_H$", blue
] {angle =Hb--Ha--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta_H$", blue
] {angle =Hc--Hb--Ha};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma_H$", blue
] {angle =Ha--Hc--Hb};
\fi%======================

% Hhenschnittwinkel an den Ecken
\ifnum\hwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\alpha}$",
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\gamma}$",  color2
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\overline{\beta}$",
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,
pic text={$\overline{\alpha}$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};

\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}$",
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\gamma}$", color1,
] {angle =H--A--Hb};
\fi%======================

% Winkel an den Hhenfupnkten
\ifnum\hfuszwinkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_1$",
] {angle =Hc--Ha--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_2$",
] {angle =C--Ha--Hb};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\beta_1$",
] {angle =Ha--Hb--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\beta_2$",
] {angle =A--Hb--Hc};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\gamma_1$",
] {angle =Hb--Hc--A};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\gamma_2$",
] {angle =B--Hc--Ha};
\fi%======================

%% Innenwinkel des Ausgangsdreiecks
\ifnum\winkel=1%======================
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.7,
draw,
pic text={$\alpha$},  pic text options={xshift=13pt},
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.3,
draw,
pic text={$\beta$},  pic text options={yshift=4pt},
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.3,
draw,
pic text={$\gamma$},  pic text options={xshift=4pt},
] {angle =A--C--B};
\fi%======================



% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
a_H = \aH \text{ cm}   \\
b_H = \bH \text{ cm}   \\
c_H = \cH \text{ cm}   \\ \hline
\alpha_H = \AlphaH^\circ   \\
\beta_H = \BetaH^\circ    \\
\gamma_H = \GammaH^\circ \\   \hline
R_H = \RH \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>

Sei um die Seitenmitte $M_b$ der Seite $|AC|$ ein Kreis mit $|AC|$ als Durchmesser beschrieben, so muss nach dem Satz des Thales der Kreis die Punkte $H_a$ und $H_c$ enthalten, da die Sehnen $|AH_a|,~ |CH_a|$ sowie $|AH_c|,~ |CH_c|$ rechte Winkel einschließen.

Nach dem Umfangswinkelsatz besitzen Winkel über der selben Sehne gleiche Größe, womit über der Sehne $|CH_a|$  die Gleichheit $
\gamma_1 =\overline{\gamma}$ folgt.

Ähnlich findet man im Thaleskreis um die Seitenmitte $M_a$ über der Sehne  $|CH_b|$ die Gleichheit $\gamma_2 =\overline{\gamma}$.

Damit wird $
\gamma_H = \gamma_1 +\gamma_2
=2\overline{\gamma} =2\cdot (90^\circ -\gamma)
=180^\circ -2\gamma \hspace{11mm} \square
$

Anmerkung: Mit $\gamma_1=\gamma_2=\overline{\gamma}$ ist zugleich gezeigt, dass die Höhen des Ausgangsdreiecks die Winkelhalbierenden des Höhenfußpunktdreiecks sind und der Höhenschnittpunkt sein Inkreismittelpunkt.




Nach dem erweiterten Sinussatz berechnet sich der Umkreisradius eines Dreiecks zu $\boxed{   R=\dfrac{a}{2\sin(\alpha)}   }.$

Beweis.

Der erweiterte Sinussatz folgt als Kombination von Umfangswinkelssatz (Winkel über der gleichen Sehne besitzen gleiche Größe) und dem Satz des Thales (Winkel über dem Durchmesser im Halbkreis sind rechte Winkel).

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %


% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};

% Umfangswinkelsatz
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};

% Satz des Thales
\draw[red] (B) -- (U) node[midway, below]{$R$}
-- ($(U)!-\R cm!(B)$) node[midway, below]{$R$} coordinate[Punkt={above}{P}](P)
-- (A);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$", red
] {angle =B--A--P};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--P--B};

%% Punkte
\foreach \P in {U, P, C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
</math>

Man entliest $\sin(\gamma) =\dfrac{c}{2R}.$





Satz: Der Umkreisradius $R_H$ des Höhenfußpunktdreiecks ist halb so groß wie der Umkreisradius des Ausgangsdreicks, also $\boxed{  R_H =\frac12 R   }.$

Beweis.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\aufg{0} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{0}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{0}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{1}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\rechtewinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hdreieck{1}%  1 "yes",  0 "no"
\def\humkreis{1}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))}

% Berechnung ==========================
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}

% Seitenlngen und Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\aH}{\a*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\bH}{\b*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\cH}{\c*cos(\Gamma)}

\pgfmathsetmacro{\AlphaH}{180-2*\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\BetaH}{180-2*\Beta}
\pgfmathsetmacro{\GammaH}{180-2*\Gamma}

% Umkreisradius des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\RH}{\aH/(2*sin(\AlphaH))}
\pgfmathsetmacro{\McHUH}{\RH*abs(cos(\GammaH))} %
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
\ifnum\aufg=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha);
\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};   \fi
\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb);
\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\ifnum\habschnitte=1 \node[anno, label=-135:$H_c$] at (Hc) {};
\else \node[anno, label=below:$H_c$] at (Hc) {}; \fi

\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};
\fi

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[label=130:$H$](H);

%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[near end, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[anno, midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[anno, near end, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[anno, pos=0.5, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[anno, pos=0.7, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\aufg=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};
\fi


\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\path[blue] (Ha) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$b_H$};
\path[blue] (Ha) -- (Hb) node[anno, pos=0.7, sloped, above]{$c_H$};
\path[blue] (Hb) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$a_H$};
\fi

\ifnum\humkreis=1
\coordinate[label=](McH) at ($(Ha)!0.5!(Hb)$);
\path[draw=none] (McH)  -- ($(McH)!\McHUH cm!-90:(Ha)$) coordinate[label=-90:$U_H$](UH);
\draw[red] (UH) circle[radius=\RH];
\draw[fill=black!1] (UH) circle (1.5pt);
\draw[->] (UH) -- +(-45:\RH) node[near end, below, sloped]{$R_H$};
\fi

%%% Seitenabschnitte der Hhen
%\ifnum\aufg=1 \else
%\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
%\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};
%\fi
%
%\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
%\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%%\fi
%\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
%\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};


%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\aufg=1
\foreach \P in {Hb, Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\else
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha, Has} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
a_H = \aH \text{ cm}   \\
b_H = \bH \text{ cm}   \\
c_H = \cH \text{ cm}   \\ \hline
\alpha_H = \AlphaH^\circ   \\
\beta_H = \BetaH^\circ    \\
\gamma_H = \GammaH^\circ \\   \hline
R_H = \RH \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>



$\begin{array}{l l l l}
R_H &  =\dfrac{a_H}{2\sin(\alpha_H)}    
            &=\dfrac{a\cos(\alpha)}{2\sin(180^\circ -2\alpha)} &  \\[1em]
       &         &=\dfrac{a\cos(\alpha)}{2\sin(2\alpha)}
                      &\hspace{11mm}\textsf{[da $\sin(\pi-x)=\sin(x)$]}  \\[1em]
       &         &=\dfrac{a\cos(\alpha)}{2\cdot 2\sin(\alpha) \cos(\alpha)}
            &\hspace{11mm}\textsf{[da $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$]}  \\[1em]
       &         &=\dfrac12 \cdot \dfrac{a}{2\sin(\alpha)}
                     = \dfrac12 R &\hspace{11mm}\square
\end{array}$






Damit ist zugleich gezeigt:
Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an einer Dreiecksseite, so liegt der Spiegelpunkt auf dem Umkreis.

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
>=latex,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
% Einstellungen =====================
% aufg oder allgemein:
\def\aufg{0} %     1 "yes",  0 "no"
%
\def\habschnitte{1}%     1 "yes",  0 "no"
\def\umkreisstrecken{0}%      1 "yes",  0 "no"
\def\umkreis{1}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\rechtewinkel{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\hdreieck{0}%  1 "yes",  0 "no"
\def\humkreis{1}%  1 "yes",  0 "no"
%
\def\werte{0}%  1 "yes",  0 "no"
% ==================================

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{7}
\pgfmathsetmacro{\b}{6}
\pgfmathsetmacro{\c}{6.5}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))}

% Berechnung ==========================
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}

% Seitenlngen und Innenwinkel des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\aH}{\a*cos(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro{\bH}{\b*cos(\Beta)}
\pgfmathsetmacro{\cH}{\c*cos(\Gamma)}

\pgfmathsetmacro{\AlphaH}{180-2*\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\BetaH}{180-2*\Beta}
\pgfmathsetmacro{\GammaH}{180-2*\Gamma}

% Umkreisradius des Hhenfupunktdreiecks
\pgfmathsetmacro{\RH}{\aH/(2*sin(\AlphaH))}
\pgfmathsetmacro{\McHUH}{\RH*abs(cos(\GammaH))} %
% ==================================

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck =====================
% Umkreis
\ifnum\umkreis=1
\path[] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=-45:$U$](U);
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw[->] (U) -- +(22:\R) node[very near end, above, sloped]{$R$};
\fi

% Hhen
\ifnum\aufg=1
\path[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\else
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[label={[above, yshift=4pt]:$H_a$}] (Ha);
\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};   \fi
\fi

\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[label={[above, xshift=-4pt]:$H_b$}] (Hb);
\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\ifnum\habschnitte=1 \node[anno, label=-135:$H_c$] at (Hc) {};
\else \node[anno, label=below:$H_c$] at (Hc) {}; \fi

\ifnum\rechtewinkel=1
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};
\fi

%% Hhenschnittpunkt
\draw[] (C) -- +(0,-\hC) coordinate[label=130:$H$](H);

%% Obere und untere Hhenabschnitte
%% und Projektionen der unteren Hhenabschnitte
\ifnum\habschnitte=1
\path[] (H) -- (C) node[near end, right]{$h_C$};
\path[] (H) -- (Hc) node[anno, midway, right]{$\overline{h}_C$};
\draw[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[label=below:$H"_c$](Hcs) node[midway, right]{$\overline{h}_C$};

\path[] (H) -- (B) node[anno, near end, above, sloped]{$h_B$};
\path[] (H) -- (Hb) node[anno, pos=0.5, above, sloped]{$\overline{h}_B$};
\draw[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[label=100:$H"_b$] (Hbs) node[pos=0.7, sloped, above]{$\overline{h}_B$};

\ifnum\aufg=1 \else
\path[] (H) -- (A) node[anno, pos=0.7, above, sloped]{$h_A$};
\path[] (H) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$\overline{h}_A$};
\draw[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[label=above:$H"_a$] (Has) node[midway, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\fi

\else
\path[] (Hb) -- ($(H)!2*\hBq cm!(Hb)$) coordinate[] (Hbs);
\path[] (Ha) -- ($(H)!2*\hAq cm!(Ha)$) coordinate[] (Has);
\path[] (Hc) -- +(0,-\hCq) coordinate[](Hcs);
\fi



%% Umkreisstrecken
\ifnum\umkreisstrecken=1
\ifnum\aufg=1
\draw[red] (Hcs) -- (A) node[midway, above]{$x$};
\draw[red] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, right]{$y$};
\else
\draw[] (Hcs) -- (A) node[midway, sloped, above]{$x_A$};
\draw[] (Hbs) -- (A) node[pos=0.3, sloped, above]{$y_A$};
%
\draw[] (Has) -- (B) node[midway, right]{$x_B$};
\draw[] (Has) -- (C) node[midway, sloped, above]{$y_C$};
\fi


\draw[] (Hbs) -- (C) node[midway, sloped, above]{$x_C$};
\draw[] (Hcs) -- (B) node[midway, sloped, below]{$y_B$};
\fi


%% Hhenfupunktdreieck
\ifnum\hdreieck=1
\draw[blue, local bounding box=hdreieck] (Ha) -- (Hb) -- (Hc) --cycle;
%%\draw[] (UH) circle[radius=0.5*\R];
\path[blue] (Ha) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$b_H$};
\path[blue] (Ha) -- (Hb) node[anno, pos=0.7, sloped, above]{$c_H$};
\path[blue] (Hb) -- (Hc) node[anno, pos=0.7, sloped, below]{$a_H$};
\fi

\ifnum\humkreis=1
\coordinate[label=](McH) at ($(Ha)!0.5!(Hb)$);
\path[draw=none] (McH)  -- ($(McH)!\McHUH cm!-90:(Ha)$) coordinate[label=-90:$U_H$](UH);
\draw[red] (UH) circle[radius=\RH];
\draw[fill=black!1] (UH) circle (1.5pt);
\draw[->] (UH) -- +(-45:\RH) node[near end, below, sloped]{$R_H$};
\fi

%%% Seitenabschnitte der Hhen
%\ifnum\aufg=1 \else
%\path[] (B) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_B$};
%\path[] (C) -- (Ha) node[midway, above, sloped]{$a_C$};
%\fi
%
%\path[] (A) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_A$};
%\path[] (C) -- (Hb) node[midway, above, sloped]{$b_C$};
%%\fi
%\path[] (A) -- (\cA,0) node[midway, below]{$c_A$}; % test
%\path[] (B) -- (Hc) node[midway, below]{$c_B$};


%% Punkte
\foreach \P in {H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

\ifnum\umkreis=1
\foreach \P in {U, A, B, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\habschnitte=1
\foreach \P in {Hcs, Hbs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

\ifnum\aufg=1
\foreach \P in {Hb, Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\else
\foreach \P in {Hb, Hc, Ha, Has} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\fi

% Annotationen - Rechnung
\ifnum\werte=1
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
text width =\c cm,
anchor=north,
] at ([yshift=-2*\hCq cm-1cm]H){
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  & \hspace{3cm} \\
b = \b \text{ cm}  \\
c = \c \text{ cm}   \\   \hline
\alpha = \Alpha^\circ   \\
\beta = \Beta^\circ    \\
\gamma = \Gamma^\circ \\   \hline
R = \R \text{ cm}   \\   \hline
h_a = \ha \text{ cm}   \\
h_b = \hb \text{ cm}   \\
h_c = \hc \text{ cm}   \\   \hline
h_A = \hA \text{ cm}   \\
\overline{h}_A = \hAq \text{ cm}   \\
h_B = \hB \text{ cm}   \\
\overline{h}_B = \hBq \text{ cm}   \\
h_C = \hC \text{ cm}   \\
\overline{h}_C = \hCq \text{ cm}   \\ \hline
a_B = \aB \text{ cm}   \\
a_C = \aC \text{ cm}   \\
b_A = \bA \text{ cm}   \\
b_C = \bC \text{ cm}   \\
c_A = \cA \text{ cm}   \\
c_B = \cB \text{ cm}   \\ \hline
a_H = \aH \text{ cm}   \\
b_H = \bH \text{ cm}   \\
c_H = \cH \text{ cm}   \\ \hline
\alpha_H = \AlphaH^\circ   \\
\beta_H = \BetaH^\circ    \\
\gamma_H = \GammaH^\circ \\   \hline
R_H = \RH \text{ cm}   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\
\end{array}$
};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>





Dann entliest man

$x^2 =\overline{h}_C^2 +c_A^2
=(h_A^2-c_A^2)+c_A^2 =h_A^2$

und $y^2 =\overline{h}_B^2 +b_A^2
=(h_A^2-b_A^2)+b_A^2 =h_A^2$

$\Rightarrow~ \underline{\underline{  x=y    }}$



Zusatz: Konkrete Berechnung der unteren und oberen Höhenabschnitte.

Satz: Sei $H$ der Höhenschnittpunkt und seien $h_A =|AH|$, $h_B =|BH|$ und $h_C =|CH|$ die (auf der Seite der Dreiecksecken liegenden) oberen Höhenabschnitte. Seien ferner $a_B, a_C,~ b_A, b_C,~ c_A, c_B$ die Seitenabschnitte der Höhen (siehe oben)

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={thick},
anno/.style={inner sep=1pt},
]
\def\HabschnitteUnten{1} %   1 "yes",  0 "no"
\def\HabschnitteOben{1} %   1 "yes",  0 "no"
\def\res{1} %   1 "yes",  0 "no"
\def\rescolor{0} %   1 "yes",  0 "no"
\def\Hwinkel{0} %   1 "yes",  0 "no"

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\v}{0.8} %
\pgfmathsetmacro{\a}{\v*9} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\v*7.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\v*8} %

% Seitenabschnitte der Hhen
\pgfmathsetmacro{\aB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\aC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\a)}
\pgfmathsetmacro{\bA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\bC}{(\a*\a+\b*\b-\c*\c)/(2*\b)}
\pgfmathsetmacro{\cA}{(-\a*\a+\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}
\pgfmathsetmacro{\cB}{(\a*\a-\b*\b+\c*\c)/(2*\c)}

% Hhen
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)}
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))}

\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a}
\pgfmathsetmacro{\hb}{2*\F/\b}
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c}

% Hhenabschnitte
\pgfmathsetmacro{\hA}{\b*\bA/\ha}
\pgfmathsetmacro{\hB}{\c*\cB/\hb}
\pgfmathsetmacro{\hC}{\a*\aC/\hc}

\pgfmathsetmacro{\hAq}{\ha-\hA}
\pgfmathsetmacro{\hBq}{\hb-\hB}
\pgfmathsetmacro{\hCq}{\hc-\hC}




\pgfmathsetmacro{\x}{\aB/\a}
\pgfmathsetmacro{\y}{\bA/\b}

\pgfmathsetmacro{\p}{\y/(\x+\y-\x*\y)}
\pgfmathsetmacro{\q}{\x*\p/\y}

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\newcommand\zzz[2]{$(1$--$#1)\cdot$$#2$}

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;


% Annotationen - Dreieck
% Hoehenfupunkte (mit Ecktransversalenmethode)
\coordinate[label=right:$H_a$] (Ha) at ($(B)!\x!(C)$);
\coordinate[label=left:$H_b$] (Hb) at ($(A)!\y!(C)$);
\coordinate[label=below:$H_c$] (Hc) at ($(A)!(C)!(B)$);
\coordinate[label={[right=6mm]:$H$}] (H) at ($(B)!\q!(Hb)$);

% Hhen
\draw[] (A) -- (Ha);
\draw[] (B) -- (Hb);
\draw[] (C) -- (Hc);

\ifnum\HabschnitteOben=1
\path[] (A) -- (Ha) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$h_A$};
\path[] (B) -- (Hb) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$h_B$};
\path[] (C) -- (Hc) node[pos=0.3, right]{$h_C$};
\fi

\ifnum\HabschnitteUnten=1
\path[] (Ha) -- (H) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$\overline{h}_A$};
\path[] (Hb) -- (H) node[pos=0.3, anno, sloped, above]{$\overline{h}_B$};
\path[] (Hc) -- (H) node[pos=0.3, right]{$\overline{h}_C$};
\fi

\path[] (A) -- (Hb) node[anno, midway, sloped, above]{$b_A$};
\path[] (C) -- (Hb) node[anno, midway, sloped, above]{$b_C$};
\path[] (B) -- (Ha) node[anno, midway, sloped, above]{$a_B$};
\path[] (C) -- (Ha) node[anno, pos=0.4, sloped, above]{$a_C$};
\path[] (A) -- (Hc) node[midway,   below]{$c_A$};
\path[] (B) -- (Hc) node[midway,   below]{$c_B$};


% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =C--Hc--A};

% Winkel an den Ecken
\ifnum\Hwinkel=1%==========================
\draw pic [angle radius=8mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\alpha_h$"
] {angle =Hc--A--H};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.8,
draw,   "$\overline{\alpha}_h$"
] {angle =H--A--Hb};

\draw pic [angle radius=11mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\beta_h$"
] {angle =H--B--Hc};
\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.7,
draw,   "$\overline{\beta}_h$"
] {angle =Ha--B--H};

\draw pic [angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\gamma_h$"
] {angle =H--C--Ha};
\draw pic [angle radius=12mm, angle eccentricity=0.8,
draw,
pic text={$\overline{\gamma}_h$},  pic text options={xshift=1pt},
] {angle =Hb--C--H};
\fi%==========================

% Winkel am Hhenschnittpunkt
\ifnum\res=1
\def\x{\beta}
\def\y{\alpha}
\def\z{\gamma}
\else
\def\x{x}
\def\y{y}
\def\z{z}
\fi

\ifnum\rescolor=1
\tikzset{  result/.style={red}  }
\else
\tikzset{  result/.style={}  }
\fi

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\x$", result
] {angle =A--H--Hc};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\x$", result
] {angle =Ha--H--C};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\y$", result
] {angle =Hc--H--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\y$", result
] {angle =C--H--Hb};

\draw pic [angle radius=6mm,% angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\z$",   result
] {angle =Hb--H--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=0.75,
draw,   "$\z$", result
] {angle =B--H--Ha};

%% Punkte
\foreach \P in {Ha, Hb, Hc, H} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

% Test
%\pgfmathsetmacro\hB{\b*\cB/\hc}
%\draw[red] (B) -- ($(B)!\hB cm!(Hb)$);
%\pgfmathsetmacro\hA{\a*\cA/\hc}
%\pgfmathsetmacro\hA{\c*\cA/\ha}
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\hA cm!(Ha)$);
\end{tikzpicture}
</math>

Dann erfüllen die oberen Höhenabschnitte die Beziehungen

$\boxed{   \begin{array}{l l l l l l l l l}
h_A   &=\dfrac{b\, b_A}{h_a} &=\dfrac{c\, c_A}{h_a}
  &=\dfrac{a\, b_A}{h_b} &=\dfrac{a\, c_A}{h_c}  
  &=\dfrac{b_A}{a_B}h_B  &=\dfrac{c_A}{a_C}h_C
  &=\dfrac{c_A}{\sin(\beta)} &=\dfrac{b_A}{\sin(\gamma)} \\[1.2em]
h_B   &=\dfrac{a\, a_B}{h_b}  &=\dfrac{c\, c_B}{h_b}
  &=\dfrac{b\, a_B}{h_a}   &=\dfrac{b\, c_B}{h_c}  
  &=\dfrac{a_B}{b_A}h_A  &=\dfrac{c_B}{b_C}h_C    
  &=\dfrac{c_B}{\sin(\alpha)} &=\dfrac{a_B}{\sin(\gamma)} \\[1.2em]
h_C   &=\dfrac{a\, a_C}{h_c} &=\dfrac{b\, b_C}{h_c}
  &=\dfrac{c\, b_C}{h_b} &=\dfrac{c\, a_C}{h_a}
  &=\dfrac{a_C}{c_A}h_A &=\dfrac{b_C}{c_B}h_B
  &=\dfrac{b_C}{\sin(\alpha)} &=\dfrac{a_C}{\sin(\beta)}
\end{array}   }$

Für die (auf der Seite der Dreiecksseiten liegenden) unteren Höhenabschnitte $\overline{h}_A =|HH_a|$, $\overline{h}_B =|HH_b|$ und $\overline{h}_C =|HH_c|$ gilt entsprechend

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
\overline{h}_A = h_a -h_A,
   & \overline{h}_B = h_b -h_B,
   & \overline{h}_C = h_c -h_C
\end{array}   }$

Beweis:

Aus der Betrachtung der Winkel am Höhenschnittpunkt (siehe oben) folgt ohne Weiteres

$
\sin(\alpha) =\dfrac{h_b}{c} =\dfrac{h_c}{b}
  =\dfrac{b_C}{h_C} =\dfrac{c_B}{h_B} \\[1em]
\sin(\beta) =\dfrac{h_a}{c} =\dfrac{h_c}{a}
  =\dfrac{a_C}{h_C} =\dfrac{c_A}{h_A} \\[1em]
\sin(\gamma) =\dfrac{h_a}{b} =\dfrac{h_b}{a}
  =\dfrac{a_B}{h_B}=\dfrac{b_A}{h_A} \hspace{11mm} \square
$


Mit Hilfe der Flächenformeln

$F ~=\dfrac{ah_a}{2} ~=\dfrac{bh_b}{2} ~=\dfrac{ch_c}{2} $

und

${F
~=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}
~=\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{4}
~=\dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{4}}$

Beweis.
$\begin{array}{l l l}
F^2
&= \bigl(\frac12 bc\sin(\alpha) \bigr)^2 \\[1em]
&= \dfrac{b^2c^2 \bigl( 1-\cos^2(\alpha) \bigr)}{4}   \\
&=
\dfrac{b^2c^2 \left( 1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)^2 \right)}{4}    &\longleftarrow~~
a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) ~~ \textsf{[Kosinussatz]}
\\
&= \dfrac{  b^2c^2-\dfrac{\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2}{4} }{4} \\[1em]

&= \dfrac{4b^2c^2 -\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2}{4^2}  &\square  \\
\end{array}$


also

$\begin{array}{l l l}
4F &=\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}  &=2ch_c \\[1em]
    &=\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}   &=2bh_b \\[1em]
    &=\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}   &=2ah_a
\end{array}$

berechnen sich die Höhen über die Seitenlängen zu

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
h_a = \dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2a},
& h_b =\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{2b},
& h_c=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2c}
\end{array}  }$

Damit wird z.B. für den oberen Höhenabschnitt $h_B$ in Verbindung mit dem Seitenabschnitt $a_B =\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ (siehe oben) der Höhe $h_a$

$h_B
=\dfrac{a\, a_B}{h_b}
=\dfrac{a\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}}
             {\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{2b}}
=\dfrac{b (a^2+c^2-b^2)}{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}$

Damit hat man für die oberen Höhenabschnitte die Formeln

$\boxed{  \begin{array}{l l l}
h_A =\dfrac{a (b^2+c^2-a^2)}{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}},
& h_B =\dfrac{b (a^2+c^2-b^2)}{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}},
& h_C=\dfrac{c (a^2+b^2-c^2)}{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}
\end{array}  }$







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