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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Erster von drei weihnachtlichen "Kreisgeistern"
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Kein bestimmter Bereich * Erster von drei weihnachtlichen "Kreisgeistern"
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-13


Während ich über die vergangenen zweieinhalb Wochen versucht habe,
gedanklich Squires Moriarty-Grenzwerte einzukreisen, wurden meine
Gedanken auch immer wieder "störend" von Kreisen durchkreist...

Inzwischen haben mich schon drei "weihnachtliche Kreisgeister"
heimgesucht; im folgenden möchte ich den ersten vorstellen:

\(n\)  Kreise mit gleichem Radius  \(r_p\)  umkreisen einen zentralen Kreis
mit Radius  \(r_z\) . Jeder von ihnen berührt sowohl letzteren als auch
seine beiden jeweiligen "Nachbarn". Aus der Anzahl  \(n\)  an Peripherie-
kreisen lässt sich der Radius  \(r_z\)  des zentralen Kreises im Verhältnis
zum Radius  \(r_p\)  der Peripheriekreise ableiten!


Außerdem lassen sich auch hier Grenzwerte "einkreisen"...

Man ermittle für  \(n\geq2\)    \(f_z(n)=\frac{r_z}{r_p}\)
und... vermute wohlbegründet die beiden nachstehenden Grenzwerte:
\(\lambda_1\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:(\,\frac{f_z(n)}{n}\,)\)
\(\lambda_2\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:(\,f_z(n+1)\, -\,f_z(n)\,)\)

Lösungsvorschläge bitte per PM/PN 😎
Und nun - nicht so entgeistern schauen! 😮 - viel Vergnügen!


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-13


Herzlichen Glückwunsch an den
ersten erfolgreichen Löser  Goswin ! 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-16


Der zweite hat es "geknackt" -
herzlichen Glückwunsch an  JoeM ! 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-17


Und der dritte "im Bunde"
ist  MartinN  - herzlichen Glückwunsch! 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-17


gonz  hat sich inzwischen auch noch
dem "Erfolgskränzchen" angeschlossen - herzlichen Glückwunsch! 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Hallo liebe [Mit]Knobler!

Im folgenden meine Lösung...



Zunächst bilden die Mittelpunkte der Peripheriekreise ein regelmäßiges \(n\)-Eck.
Verbindet man nun jeweils die Mittelpunkte der Peripheriekreise
mit dem Mittelpunkt des zentralen Kreises, so "zerfällt" jenes \(n\)-Eck
in \(n\) gleichschenklige Dreiecke.
Halbiert man eines davon der Länge nach, ist es demnach rechtwinklig!
Gebildet wird es jeweils aus dem Mittelpunkt des zentralen Kreises,
dem Mittelpunkt eines der Peripheriekreise und seinem Berührpunkt
mit einem "Nachbarn".
Am Mittelpunkt des zentralen Kreises weist es den Winkel \(\omega\) auf.
Exemplarisch für \(n=12\):


\(\omega\: =\:\frac{360°}{2\,\cdot\, n}\: =\:\frac{180°}{n}\: =\:\frac{\pi}{n}\)

Es gilt dann:

\(sin(\omega)\: =\: sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\: =\:\frac{r_p}{r_p\,+\,r_z}\: =\:\frac{r_p}{r_p\,+\,r_p\cdot f_z(n)}\: =\:\frac{r_p}{r_p\,\cdot\, (1+f_z(n))}\: =\:\frac{1}{1\, +\, f_z(n)}\)
\(\Leftrightarrow\)   \(sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\: +\: f_z(n)\,\cdot\, sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\: =\:1\)
\(\Leftrightarrow\)   \(f_z(n)\,\cdot\, sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\: =\:1\,-\, sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)   \(f_z(n)\: =\:\frac{1}{sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,-\,1\)

Annahme:
\(\exists\lambda_1\)   mit   \(\lambda_1\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{f_z(n)}{n}\,\right)\)
\(\Rightarrow\)   \(\lambda_1\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{\frac{1}{sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,-\,1}{n}\,\right)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{1}{n\,\cdot\,sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\, -\,\frac{1}{n}\,\right)\: =\)   ...
...   \(=\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{1}{n\,\cdot\,sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,\right)\: -\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\frac{1}{n}\right)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{1}{n\,\cdot\,sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,\right)\: -\:0\: =\)   ...
...   \(=\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{1}{n\,\cdot\,sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,\right)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{\frac{1}{n}}{sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,\right)\: =\:\)   ...
... nein, da ist der letzte Umwandlungsschritt keineswegs unmotiviert,
sondern sorgt dafür, dass sowohl im Zähler wie im Nenner des Bruches
jeweils ein Ausdruck steht, dessen Wert für  \(n\to\infty\)  gegen  \(0\)  strebt,
so dass man nach de L'Hospital mit einer Differentialbetrachtung
fortfahren kann, bei der man Zähler und Nenner jeweils durch ihre
Ableitung ersetzt. Die "innere Ableitung" der Nennerfunktion "bringts"...
...   \(=\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{-\,\frac{1}{n^2}}{-\,\frac{\pi}{n^2}\,\cdot\,cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,\right)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{1}{\pi\,\cdot\,cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,\right)\: =\:\)   ...
... für  \(n\to\infty\)  strebt  \(\frac{\pi}{n}\)  gegen  \(0\) , und  \(cos(0)=1\) ...
...   \(=\:\frac{1}{\pi\,\cdot\,cos(0)}\: =\:\frac{1}{\pi\,\cdot\,1}\: =\:\frac{1}{\pi}\: =\:0,31830988618379...\)
\(\exists\lambda_1\)   mit   \(\lambda_1\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{f_z(n)}{n}\,\right)\)
\(\Rightarrow\)   \(n\to\infty\):   \(\frac{f_z(n+1)}{n+1}\:\approx\:\frac{f_z(n)}{n}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(n\,\cdot f_z(n+1)\:\approx\:n\,\cdot f_z(n)\,+\,f_z(n)\)   \(\Leftrightarrow\)   ...
...   \(\Leftrightarrow\)  \(n\,\cdot f_z(n+1)\: -\:n\,\cdot f_z(n)\:\approx\:f_z(n)\)   \(\Leftrightarrow\)   \(f_z(n+1)\: -\:f_z(n)\:\approx\:\frac{f_z(n)}{n}\)
\(\Rightarrow\)   \(\exists\lambda_2\)   mit   \(\lambda_2\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,f_z(n+1)\,-\,f_z(n)\,\right)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:\left(\,\frac{f_z(n)}{n}\,\right)\: =\:\lambda_1\: =\:\frac{1}{\pi}\)

Gewiss gibt es noch andere Wege zur Lösung -
wer eine "pfiffigere" oder "schönere" weiß: Immer her damit! 😉


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