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Analysis » Grenzwerte » Funktion gesucht / Limes superior und Limes inferior
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Universität/Hochschule J Funktion gesucht / Limes superior und Limes inferior
Massena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-04


Ich suche eine Funktion \(f\), so dass für die Funktion
\[g(x) = c^x \int_x^\infty f(t) dt \] für alle \(c>1\) der Limes superior \(\infty\) und der Limes inferior \(0\) ist, jeweils für \(x \to \infty\).

Also \(\limsup_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\liminf_{x \to \infty} g(x) = 0.\)

Als Tip habe ich erhalten, dass man \(f\) "im Wesentlichen" als \(f(t) = 1/t^2\) wählen kann.
Ich verstehe nicht ganz, was darunter zu verstehen ist. Mit dieser Wahl von \(f\) erhalte ich \(g(x) = c^x/x\). Aber dann sind limp sup und lim in für \(x \to \infty\) jeweils \(\infty\).

Das Problem stammt eigentlich aus der Stochastik, aber mein Verständnis scheitert hier eher an der Anaylsis - die ist bei mir schon etwas länger her ...

Kann mir jemand erklären, was hier gemeint ist?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-10


Hallo Massena,
für \(g(x) = c^x/x\) ist \(\limsup_{x \to \infty} g(x) = \liminf_{x \to \infty} g(x) = \infty\). Wie müsste \(g(x)\) verlaufen, damit lim sup unverändert bleibt und lim inf Null wird? Aus so einem \(g(x)\) kann man dann \(f(x)\) zurückrechnen.

Viele Grüße,
  Stefan



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-16


@janewill: Hallo janewill, ich füge hier wieder deine Antwort ein, weil du sie möglicherweise in dem falschem Glauben gelöscht hast, dass keine Komplettantwort gegeben werden darf (Quelle - siehe Sumo-Notiz Nutzungsbedingungen Grundsätze 1.Satz).


Post 2 (post_id=1830505) von janewill gelöscht

Falls Massena noch seine Hausaufgaben abgeben möchte:

Setze <math>g(x)=\frac{1+\sin{x}}{x}\cdot c^x</math>. <math>g</math> hat reichlich Nullstellen und es gilt natürlich <math>\lim\sup g(x) =\infty</math>.

Auflösen der Gleichung
<math>\displaymath\frac{1+\sin{x}}{x}=\int_x^\infty f(t)dt</math>
ergibt
<math>\displaymath f(x) = - \frac{d}{d x} \frac{1+\sin{x}}{x} = \frac{\cos{x}-\sin{x}-1}{x^2}</math>



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Massena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01 15:17


Vielen Dank, war allein nicht mehr drauf gekommen.



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Massena hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Massena hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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