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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordan-Normalform ohne Matrizen
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Universität/Hochschule J Jordan-Normalform ohne Matrizen
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\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Guten Tag.

Ich bearbeite derzeitig folgende Algebra Aufgabe:



Klingt an sich nicht so kompliziert, nur leider habe ich ein paar große Verstädnisprobleme. Diese Aufgabe soll wohl etwas mit der Jordannormalform zu tun haben, wie genau ist mir aber selbst noch nicht klar.

Ich verstehe nicht genau, was "$(T-\lambda)^{n-1-k} \text{ mod } (T-\lambda)^n$" eigentlich genau bedeutet. Vielleicht ist das kein guter Vergleich, aber wenn man zb die Zahl 2 nehmen würde, dann wäre $2^{n-1-k} \text{ mod }  2^{n} = 2^{n-1-k} $, die Modulo Operation hätte keinen Einfluss auf die $2^{n-1-k}$, weil $2^{n}$ größer ist. Gut, hierbei handelt es sich nicht um Zahlen sondern um Polynome, aber das sollte doch keinen Unterschied machen, oder? Also eigentlich müsste $(T-\lambda)^{n-1-k} \text{ mod }  (T-\lambda)^n = (T-\lambda)^{n-1-k}$ gelten, oder irre ich mich da? Ist das vielleicht einfach nur eine Formalität, damit wir nicht einfach ein Element aus $K[T]$ betrachten sondern eben eins aus $K[T] / (T-\lambda)^n K[T]$? Das wäre so, wie zb $2 \in \mathbb{Z}$, dann ist $2 \text{ mod }  5 \in \mathbb{Z}_5$, obwohl 2 effektiv dasselbe ist wie $2 \text{ mod }  5$, oder denke ich mir da gerade was aus?

Außerdem habe ich auch noch immer ein kleines Problem mit Quotientenräumen. Ich frage mich, wie so ein Element aus $K[T] / (T-\lambda)^n K[T]$ eigentlich genau aussieht. Wenn man zb für einen Vektorraum $V$ und einen Unterraum $U$ von $V$ den Quotientenraum $V/U$ betrachtet, dann konnte man Elemente aus $V/U$ immer schreiben als $x+U$, das schien mir auch sehr logisch, könnte ein Element aus  $K[T] / (T-\lambda)^n K[T]$ vielleicht also einfach die Form haben $P+(T-\lambda)^n K[T]$, wobei $P \in K[T]$?

Oder wäre es hierbei doch ratsamer, mit der Projektion in den Quotientenraum zu arbeiten? Also $\pi: K[T] \rightarrow K[T]/(T-\lambda)^n K[T]$, dann wäre $[(T-\lambda)^{n-1-k} \text{ mod } (T-\lambda)^n]_{k=0}^{n-1} = [\pi((T-\lambda)^{n-1-k})]_{k=0}^{n-1}$, für ein $P \in K[T]$ muss dann eben zeigen, dass $\pi(P)$ sich irgendwie als eine Linearkombination der $\pi((T-\lambda)^{n-1-k})$ darstellen lässt, was mir aber auch nicht so klar ist.

Ich hoffe ich habe nicht zu viel Unsinn geschrieben. Wäre nett, wenn mir jemand ein wenig helfen könnte.
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Triceratops
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Gemeint ist das Bild von $(T-\lambda)^{n-1-k}$ unter der Projektion $\pi$, genau. Weil $T \mapsto T-\lambda$ einen Ringautomorphismus von $K[T]$ definiert, reicht es zu zeigen, dass die Bilder von $1,T,\dotsc,T^{n-1}$ eine $K$-Basis von $K[T]/\langle T^n \rangle$ sind. (Mehr über Quotientenringe und Polynomringe, was man hier wissen muss, erfährst du hier. Offenbar fehlen dir da noch ein paar Grundlagen.) Allgemeiner: Wenn $f \in K[T]$ normiert vom Grad $n$ ist, dann sind die Bilder von $1,T,\dotsc,T^{n-1}$ eine $K$-Basis von $K[T]/\langle f \rangle$. Mit anderen Worten: Für jedes $g \in K[T]$ gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $r \in K[T]$ mit $\deg(r) < n$ und $g - r \in \langle f \rangle$. Das ist einfach der Satz über die Polynomdivison (man teilt $g$ durch $f$ mit Rest $r$).



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LineareAlgebruh
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Nur um einmal sicherzugehen dass ich das jetzt richtig verstanden habe: Man findet also zu jedem Polynom $P\in K[T]$ durch Polynomdivision ein Polynom $R \in K[T]$, so dass einerseits $\deg(R) <n$ und andererseits $\pi(P) = \pi(R)$ gilt, richtig? Polynome in $K[T]$ vom Grade kleiner n können durch die Basis $\{1, T, ... , T^{n-1} \}$ dargestellt werden. Damit lässt sich auch $\pi(R)$ (und somit auch $\pi(P)$) als Linearkombination der  $\{\pi(1), \pi(T), ... , \pi(T^{n-1}) \}$ darstellen. Damit hat man schonmal ein EZS, das es auch eine Basis bildet folgt einfach daraus, dass wenn $\sum_{i=0}^{n-1} \mu_i \pi (T^i) = 0$ gelten würde, dann müsste man irgendein Polynom $S \in K[T]$ finden können, sd. $\sum_{i=0}^{n-1} \mu_i T^i = T^n S$, wegen des Grades sieht man aber sofort, dass $S=0$ sein muss. Damit gilt also schon $\sum_{i=0}^{n-1} \mu_i T^i = 0$, da aber die $T^i$ eine Basis bilden, folgt $\mu_i = 0$. Somit ist also $\{\pi(1), \pi(T), ... , \pi(T^{n-1}) \}$ eine Basis. Aufgrund des Automorphismus hätte man statt $\{1, T, ... , T^{n-1} \}$ auch immer $\{1, T-\lambda, ... , (T-\lambda)^{n-1} \}$ nehmen können, das wär dann doch schon alles oder nicht? Vielen Dank für die Hilfe!
\(\endgroup\)


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Ja. Weil die Polynomdivision eindeutig ist, bekommt man eine Basis (man braucht nicht Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit getrennt zu argumentieren).



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