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Physik » Elektrodynamik » Divergenz der Magnetischen Flussdichte
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Universität/Hochschule J Divergenz der Magnetischen Flussdichte
Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-08


Hallo Leute,

eine der Maxwell-Gleichungen besagt ja \(\operatorname{div}\vec{B}=0\). Damit die Divergenz der magnetischen Flussdichte im klassischen Sinn existiert, müssten ja zumindest gewisse partielle Ableitungen existieren, nämlich \(\partial_x B_x, \partial_y B_y, \partial_z B_z\).

Nun gilt aber für einen von einem konstanten Strom \(I\) durchflossenen (unendlichen langen) zylindrischen Leiter mit Radius \(r_0\), dass \(B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\) für \(r>r_0\) und \(B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r_0^2}r\) für \(r\leq r_0\), wobei \(r\) der Abstand von der Symmetrieachse ist (habe ich dem Demtröder entnommen). Fließt der Strom entlang der \(z\)-Achse, ist die Richtung von \(\vec{B}\) im Punkt \((x,y,z)\) wohl \(\frac{(-y,x,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}\).

Meine Frage ist nun, was genau in diesem Fall eigentlich mit der Gleichung \(\operatorname{div}\vec{B}=0\) gemeint ist? Unsere Magnetische Flussdichte ist in diesem Fall auf der Oberfläche des Leiters zwar stetig, aber doch gar nicht differenzierbar. Die Divergenz existiert damit doch gar nicht im klassischen Sinn. Ist diese Gleichung in einem distributionellen Sinn zu verstehen? Ignoriert man die Oberfläche einfach?



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-09


Hallo Pi_Ist_Genau_3,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Wegen der Zylindersymmetrie bieten sich hier Zylinderkoordinaten an, die Formel für $\operatorname{div}\vec{B}$ lautet [1,(4.6)]
$$\operatorname{div}\vec{B}=\nabla\cdot\vec{B}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho B_\rho}{\partial\rho}+\frac{\partial B_\varphi}{\partial\varphi}+\rho \frac{\partial B_z}{\partial z}\right) \qquad(4.6)$$ In Deinem Beispiel sind $B_\rho = B_z = 0$ und $B_\varphi$ hängt nur von der Radiuskoordinate $\rho$ (Dein $r$) ab, daher verschwindet $\operatorname{div}\vec{B}$ auch hier.

[1] Wie "krümme" ich Nabla und Delta ? (I) von KingGeorge

Servus,
Roland



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-09


Hallo Roland,

in Zylinderkoordinaten ist wohl \(\vec{B}=B_\varphi\vec{e}_\varphi\) mit \(B_\varphi=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\) für \(r\geq r_0\) und \(B_\varphi=\frac{\mu_0I}{2\pi r_0^2}r\) für \(r\leq r_0\) (mit \(r\) statt \(\rho\)). Damit ist die rechte Seite der von Dir angegebenen Gleichung wie Du schon sagtest gleich \(0\). Dies ist aber erstmal nur eine formale Rechnung, Voraussetzung ist wohl insbesondere, dass die Divergenz von \(\vec{B}\) überhaupt erst einmal existiert.

Es ist wohl auch in kartesischen Koordinaten nicht allzu schwer nachzurechnen, dass die Divergenz von \(\vec{B}\) außerhalb und innerhalb des Zylinders gleich \(0\) ist.

Worauf ich hinaus wollte war aber eigentlich, dass die Divergenz von \(\vec{B}\) denke ich gar nicht überall definiert ist. Betrachten wir mal einen Punkt \((x_0,y_0,z_0)\) auf der Oberfläche des Zylinders (also \(\sqrt{x_0^2+y_0^2}=r_0\)) mit \(x_0,y_0\neq0\) und untersuchen \(x\mapsto B_x(x,y_0,z_0)\). Im Inneren des Zylinders ist dann \(B_x(x,y_0,z_0)=\frac{-\mu_0Iy_0}{2\pi r_0^2}\) und im Äußeren des Zylinders ist dann \(B_x(x,y_0,z_0)=\frac{-\mu_0Iy_0}{2\pi(x^2+y_0^2)}\). Damit ist \(x\mapsto B_x(x,y_0,z_0)\) in \(x_0\) nicht differenzierbar und \(B_x\) damit in \((x_0,y_0,z_0)\) nicht partiell nach \(x\) differenzierbar. Analog wird wohl auch \(B_y\) in \((x_0,y_0,z_0)\) nicht partiell nach \(y\) differenzierbar sein. Dies müsste aber der Fall sein, damit die Divergenz überhaupt durch \(\partial_xB_x+\partial_yB_y+\partial_zB_z\) definiert werden kann.

Meine Frage zielte also eigentlich darauf ab, was denn mit einer Gleichung wie \(\operatorname{div}\vec{B}=0\) gemeint ist, wenn die Divergenz gar nicht überall existiert?



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-09


In Kugelkoordinaten siehst du aber doch, dass die Divergenz fuer den Fall nur die Differenzierbarkeit von $B_\varphi$ nach $\phi$ bedarf, und diese ist ja gegeben. Das heisst, fuer die Rechnung ist die Nicht-Glattheit von $B_\varphi$ in der Variable $r$ unerheblich.

Im generellen hast du natuerlich recht: die Felder sind oftmals nicht differenzierbar oder gar nicht stetig. Aber physikalisch betrachtet sind diese Unstetigkeiten genau das Zeichen fuer eine Quelle fuer das Feld!

Wenn du das mathematisch auf solidem Boden stellen moechtest, ist es sinnvoll, die Felder als Distributionen zu betrachten. Oder aber, du nimmst als Definitionsbereich der Felder den Raum *ohne* die Punkte wo Quellen lokalisiert sind. Bekanntes Standard Beispiel: elektrisches Feld fuer ein Punktteilchen im Ursprung kannst du auch herleiten, in dem nach einer Loesung der Gleichungen $\text{div} \vec{E} = 0$, $\text{rot} \vec{E} = 0$ auf $\mathbb{R}^3 - \{0\}$ bestimmst, mit der Bedingung, dass die Loesung rotationssymmetrisch sein muss. In diesem Definitionsbereich ist die Loesung $Q/\vec{x}^2$, fuer $Q$ eine Integrationskonstante, glatt, divergiert aber offensichtlich fuer $\vec{x} \rightarrow 0$.

Gruss,
moep



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-10


Hallo Pi_ist_Genau_3,
eine Berechnungsvariante wäre, die Divergenz nicht mit der partiellen Ableitung sondern mit der Volumenableitung zu berechnen.

Viele Grüẞe,
  Stefan



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-11


Hallo moep,

2021-01-09 20:10 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
In Kugelkoordinaten siehst du aber doch, dass die Divergenz fuer den Fall nur die Differenzierbarkeit von $B_\varphi$ nach $\phi$ bedarf, und diese ist ja gegeben. Das heisst, fuer die Rechnung ist die Nicht-Glattheit von $B_\varphi$ in der Variable $r$ unerheblich.

Das stellt mich ehrlich gesagt noch nicht wirklich zufrieden. Es scheint mir auch etwas willkürlich zu sein, zwischen kartesischen, Zylinder-, Kugelkoordinaten etc. zu wechseln und sich gerade das rauszupicken, wo die formale Rechnung mal nicht schiefgeht^^

Wenn wir außerdem z.B. für die Punktladung im Ursprung \(\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e}_r\) betrachten, dann erhalten wir mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten zwar \(0\) (da \(E_\theta=E_\varphi=0\) und \(r^2E_r = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\)), der Ursprung selbst wird aber nicht betrachtet.


2021-01-09 20:10 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
 Oder aber, du nimmst als Definitionsbereich der Felder den Raum *ohne* die Punkte wo Quellen lokalisiert sind. Bekanntes Standard Beispiel: elektrisches Feld fuer ein Punktteilchen im Ursprung kannst du auch herleiten, in dem nach einer Loesung der Gleichungen $\text{div} \vec{E} = 0$, $\text{rot} \vec{E} = 0$ auf $\mathbb{R}^3 - \{0\}$ bestimmst, mit der Bedingung, dass die Loesung rotationssymmetrisch sein muss. In diesem Definitionsbereich ist die Loesung $Q/\vec{x}^2$, fuer $Q$ eine Integrationskonstante, glatt, divergiert aber offensichtlich fuer $\vec{x} \rightarrow 0$.

Die Gleichungen gelten auf diesen Bereichen dann zwar, enthalten wohl aber nicht mehr alle relevanten physikalischen Informationen. Wenn ich bei der Punktladung im Ursprung einfach nur \(\operatorname{div}\vec{E}=0\) auf \(\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\) betrachte, dann fehlt uns ja die entscheidende Information, welche Ladung sich im Ursprung befindet.

Wenn man hingegen die Volumenableitung betrachtet, wie von Stefan vorgeschlagen, dann würde man für diesen Fall im Ursprung z.B. für Kugeln
\[\frac{3}{4\pi\varepsilon^3}\int_{\partial B_\varepsilon(0)}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{r}}{r}\,dS = \frac{3Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon^3}\to Q\infty\] für \(\varepsilon\to0\) erhalten, also \(\infty\) oder \(-\infty\) je nach Vorzeichen von \(Q\).


2021-01-09 20:10 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn du das mathematisch auf solidem Boden stellen moechtest, ist es sinnvoll, die Felder als Distributionen zu betrachten.

Nach etwas Überlegung scheint mir dies tatsächlich am sinnvollsten zu sein, Distributionen hatte ich ja auch schon in meinem ersten Beitrag erwähnt. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gilt tatsächlich \(\operatorname{div}\vec{B}=0\) im distributionellen Sinn. Dabei geht ein, dass die klassische Divergenz im Inneren und Äußeren des Zylinders gleich \(0\) ist und unser \(\vec{B}\)-Feld stetig ist, womit die Randterme bei der partiellen Integration sich wegheben.

Auch die Maxwell-Gleichung \(\operatorname{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\) ist dann für den Fall einer Punktladung im Ursprung sinnvoll, wenn man \(\rho=Q\delta\) setzt, was ja im Wesentlichen auch hier steht: de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Punktf%C3%B6rmige_Quelle

Wenn man annimmt, dass unsere \(\vec{B}\)- und \(\vec{E}\)-Felder zumindest stets lokal-integrierbar sind (ist dies in der Praxis der Fall?), könnten wir Divergenz und Rotation immer im distributionellen Sinn interpretieren. Allerding ist dann wohl z.B. \(\rho\) im Allgemeinen keine Funktion mehr.



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-11


2021-01-11 16:09 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 5 schreibt:

Die Gleichungen gelten auf diesen Bereichen dann zwar, enthalten wohl aber nicht mehr alle relevanten physikalischen Informationen. Wenn ich bei der Punktladung im Ursprung einfach nur \(\operatorname{div}\vec{E}=0\) auf \(\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\) betrachte, dann fehlt uns ja die entscheidende Information, welche Ladung sich im Ursprung befindet.


Das stimmt so nicht ganz, denn du musst immer die Randbedingungen mitnehmen! Auch mit dem Ursprung, und dem Delta fuer die Punktladung bekommst du die bekannte Loesung nur, wenn du die Randbedingung, dass die Felder im unendlichen verschwinden, mitnimmst.
Eine andere Art die distributive Natur mithilfe von Randbedingungen auf dem Bereich, wo alle stetig und  glatt ist, zu implementieren, ist, zu verlangen, dass $\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 4\pi \epsilon_0 Q$ ist, fuer jede geschlossene Flaeche $S$ die den Ursprung umschliesst. Insofern sind alle Informationen durch Feldgleichung auf dem Gebiet ohne Ladung plus Randbedingung gegeben -- eben so, wie es sich fuer ein Randwertproblem (also Differentialgleichung) gehoert.

Natuerlich ist das alles konsistent mit Distributionen, und diese erlauben dir, den obigen Sachverhalt etwas buendiger zu formulieren, ohne den Raum vorher "zerhacken" zu muessen. Aber ganz ehrlich: Distributionen hat man auch nur "erfunden", um eben so ein "zerhacken" einfacher zu formulieren. Der physikalische Inhalt bleibt der gleiche.

Im uebrigen wirst du spaetestens bei Allgemeiner Relativitaetstheorie merken, dass auch eine Distribution nicht mehr hilft, wenn der Raum selbst an bestimmten Punkten gar nicht mehr wohldefiniert ist 😛. Nichtsdestotrotz kann ich ein schwarzes Loch (klassisch) auf einer glatten 4d Raumzeit "minus Linie" wunderbar beschreiben.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-16


2021-01-11 16:09 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 5 schreibt:
Wenn man hingegen die Volumenableitung betrachtet, wie von Stefan vorgeschlagen, dann würde man für diesen Fall im Ursprung z.B. für Kugeln
\[\frac{3}{4\pi\varepsilon^3}\int_{\partial B_\varepsilon(0)}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{r}}{r}\,dS = \frac{3Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon^3}\to Q\infty\] für \(\varepsilon\to0\) erhalten, also \(\infty\) oder \(-\infty\) je nach Vorzeichen von \(Q\).

Das ist ja auch das zu erwartende Ergebnis: Eine endliche Ladung konzentriert auf ein unendlich kleines Volumenelement ergibt eine unendliche Ladungsdichte (Wikipedia:Quelle und Senke).



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-04


2021-01-11 17:46 - moep in Beitrag No. 6 schreibt:
Das stimmt so nicht ganz, denn du musst immer die Randbedingungen mitnehmen! Auch mit dem Ursprung, und dem Delta fuer die Punktladung bekommst du die bekannte Loesung nur, wenn du die Randbedingung, dass die Felder im unendlichen verschwinden, mitnimmst.

Stimmt, sonst könnte ich ja z.B. einfach eine Konstante draufaddieren und die Gleichung wäre immer noch erfüllt.


2021-01-11 17:46 - moep in Beitrag No. 6 schreibt:
Eine andere Art die distributive Natur mithilfe von Randbedingungen auf dem Bereich, wo alle stetig und  glatt ist, zu implementieren, ist, zu verlangen, dass $\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 4\pi \epsilon_0 Q$ ist, fuer jede geschlossene Flaeche $S$ die den Ursprung umschliesst. Insofern sind alle Informationen durch Feldgleichung auf dem Gebiet ohne Ladung plus Randbedingung gegeben -- eben so, wie es sich fuer ein Randwertproblem (also Differentialgleichung) gehoert.

Ja ich glaube das habe ich nicht richtig bedacht, wobei die Gleichung dann aber eher \(\int_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\) lauten müsste oder nicht? Wie sähe es denn dann im Fall des \(\vec{B}\)-Feldes für den zylindrischen Leiter aus? Wahrscheinlich würde man wieder \(\vec{B}(\vec{x})\to0\) für \(|\vec{x}|\to\infty\) fordern? Und weiter vielleicht, dass \(\vec{B}\) auf \(\mathbb{R}^3\) ohne Leiteroberfläche differenzierbar und auf dem ganzen \(\mathbb{R}^3\) stetig ist?


2021-01-16 08:02 - StefanVogel in Beitrag No. 7 schreibt:
Das ist ja auch das zu erwartende Ergebnis: Eine endliche Ladung konzentriert auf ein unendlich kleines Volumenelement ergibt eine unendliche Ladungsdichte (Wikipedia:Quelle und Senke).

Ja ich hatte nur das Problem, dass man eben \(\operatorname{div}\vec{E}(\vec{0})=\pm\infty\) erhalten würde und damit die Information über \(Q\) vermeintlich verloren geht. Das lag aber wohl daran, dass ich die Randbedingung übersehen habe, s.o.


2021-01-11 17:46 - moep in Beitrag No. 6 schreibt:
Im uebrigen wirst du spaetestens bei Allgemeiner Relativitaetstheorie merken, dass auch eine Distribution nicht mehr hilft, wenn der Raum selbst an bestimmten Punkten gar nicht mehr wohldefiniert ist 😛. Nichtsdestotrotz kann ich ein schwarzes Loch (klassisch) auf einer glatten 4d Raumzeit "minus Linie" wunderbar beschreiben.

Mit allgemeiner Relativitätstheorie habe ich mich noch nie beschäftigt. Klingt aber so, als würde ich da noch mehr die Krise kriegen ;D



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-04


2021-02-04 06:27 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 8 schreibt:


2021-01-11 17:46 - moep in Beitrag No. 6 schreibt:
Eine andere Art die distributive Natur mithilfe von Randbedingungen auf dem Bereich, wo alle stetig und  glatt ist, zu implementieren, ist, zu verlangen, dass $\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 4\pi \epsilon_0 Q$ ist, fuer jede geschlossene Flaeche $S$ die den Ursprung umschliesst. Insofern sind alle Informationen durch Feldgleichung auf dem Gebiet ohne Ladung plus Randbedingung gegeben -- eben so, wie es sich fuer ein Randwertproblem (also Differentialgleichung) gehoert.

Ja ich glaube das habe ich nicht richtig bedacht, wobei die Gleichung dann aber eher \(\int_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\) lauten müsste oder nicht? Wie sähe es denn dann im Fall des \(\vec{B}\)-Feldes für den zylindrischen Leiter aus? Wahrscheinlich würde man wieder \(\vec{B}(\vec{x})\to0\) für \(|\vec{x}|\to\infty\) fordern? Und weiter vielleicht, dass \(\vec{B}\) auf \(\mathbb{R}^3\) ohne Leiteroberfläche differenzierbar und auf dem ganzen \(\mathbb{R}^3\) stetig ist?



Sorry, ist schon bisschen laenger her bei mir mit den genauen Vorfaktoren.

Beim B-Feld eines zylindrischen Leiters, der o.B.d.A. entlang der z-Achse erstreckt, wuerde man verlangen, dass fuer $ |x^2 + y^2| \rightarrow \infty$ auch $\vec{B}(\vec{x}) \rightarrow 0$ geht. Wichtig ist auch hier die Information ueber die Ladungsverteilung auf der Zylinder-Oberflaeche, was einfach die Integral-Form der Ampere-Gleichung ist, also $\int_{\partial \Sigma} \vec{B} \cdot d \vec{\ell} = \mu_0 \int_\Sigma \vec{j} \cdot d\vec{S}$.
In Falle eines unendlich duennen Drahtes ist diese Rechnung geometrisch einfach: Wenn die Flaeche $\Sigma$ vom Draht (also der z-Achse) durchstochen wird, ist $\int_\Sigma \vec{j} \cdot d\vec{S} = \mu_0 I$, und sonst 0. Im Falle einer Zylinder-Oberflaeche muss man beachten, wie gross das Kreissegment ist, in dem sich die Flaeche $\Sigma$ und die Zylinder-Oberflaeche sich schneiden. Das ist aber auch nicht so kompliziert, weil man alles in die z=0 Ebene projizieren kann.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-07


2021-02-04 14:19 - moep in Beitrag No. 9 schreibt:
Beim B-Feld eines zylindrischen Leiters, der o.B.d.A. entlang der z-Achse erstreckt, wuerde man verlangen, dass fuer $ |x^2 + y^2| \rightarrow \infty$ auch $\vec{B}(\vec{x}) \rightarrow 0$ geht.

Ja, da war ich unachtsam. Es muss hier natürlich der Abstand von der \(z\)-Achse betrachtet werden und nicht der Abstand vom Ursprung.


2021-02-04 14:19 - moep in Beitrag No. 9 schreibt:
Wichtig ist auch hier die Information ueber die Ladungsverteilung auf der Zylinder-Oberflaeche, was einfach die Integral-Form der Ampere-Gleichung ist, also $\int_{\partial \Sigma} \vec{B} \cdot d \vec{\ell} = \mu_0 \int_\Sigma \vec{j} \cdot d\vec{S}$.

Dies sollte im Wesentlichen äquivalent zu \(\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}\) sein oder? (Was aber im klassischen Sinn dann wieder nur außerhalb der Zylinderoberfläche gilt.) Es sollte denke ich \(\vec{j}(x,y,z)=(0,0,\frac{I}{\pi r_0^2})\) innerhalb des Zylinders sein und \(\vec{0}\) außerhalb? Das würde dann wohl heißen, dass man die Situation durch \(\operatorname{div}\vec{B}=0\) und \(\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}\) außerhalb der Zylinderoberfläche zusammen mit der Stetigkeit von \(\vec{B}\) und \(\vec{B}\to\vec{0}\) für \(x^2+y^2\to\infty\) beschreiben kann.



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-02-08 11:18


2021-02-07 01:46 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 10 schreibt:
Es sollte denke ich \(\vec{j}(x,y,z)=(0,0,\frac{I}{\pi r_0^2})\) innerhalb des Zylinders sein und \(\vec{0}\) außerhalb? Das würde dann wohl heißen, dass man die Situation durch \(\operatorname{div}\vec{B}=0\) und \(\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}\) außerhalb der Zylinderoberfläche zusammen mit der Stetigkeit von \(\vec{B}\) und \(\vec{B}\to\vec{0}\) für \(x^2+y^2\to\infty\) beschreiben kann.

Sorry, mir war nicht ganz klar, ob der Strom nur auf der Oberflaeche des Zylinders (= hohler Zylinder), oder ob der durch den ganzen Querschnitt des Zylinders fliessen sollte. Ich bin vom ersten Fall ausgegangen. Aber was du schreibst, beschreibt korrekt den zweiten Fall.



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Pi_Ist_Genau_3
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Der Strom sollte durch den gesamten Zylinder fließen.

Vielen Dank nochmal für die Hilfe, es ist mir jetzt vieles klarer geworden :)



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