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Universität/Hochschule Fragen zur Singulärwertzerlegung
Tamref
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-09


Ich habe auf meinem aktuellen Übungszettel eine Aufgabe zur Singulärwertzerlegung bzw. soll eine solche Zerlegung finden.
Das hat soweit auch funktioniert, leider stimmt nur die Probe nicht...

Gegeben die \(m \times n \) Matrix \(A\) möchte ich \(U\Sigma V^t\)
finden, s.d. \(A=U\Sigma V^t\).

Ich bin wie folgt vorgegangen.

1. Berechne \(AA^t\). (Meinem Verständnis nach könnte ich auch \(A^tA\) berechnen, für geringeren Aufwand beim händischen Rechnen scheint es sinnvoller die kleinere Dimension zu wählen)

2. Charakteristisches Polynom von \(AA^t\) berechnen.

3. Eigenwerte berechnen und der größe nach sortieren \(\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots\) (dient der Vorbereitung für die Anordnung in \(U\) warum das nötig ist ist mir nicht klar)

4. Eigenvektoren \(v_i\) berechnen (und normieren? ich habs gemacht, ist das notwendig?)

5. Singulärwerte \(\sigma_i\) bestimmen (Wurzel der Eigenwerte)

6. \(U\) bestimmen

6.1
\[u_i = \frac{Av_i}{\sigma_i}\]
6.2
Nun fehlt \(u_3\) und ich benötige einen orthogonalen/normalen Vektor der auf \(u_1,u_2\) steht. \(u_1,u_2\) sind zu diesem Zeitpunkt nach Konstruktion bereits orthogonal/orthonormal oder?

Hier könnte ich jetzt Gram-Schmidt verwenden oder aber ich könnte ein LGS lösen, was ja dem Skalarprodukt gleich käme und wenn dieses 0 ist stehen die Vektoren ja aufeinadner. Bei diesem Schritt bin ich am unsichersten.

Ich habs ohne Gram-Schmidt versucht und es kommt irgendwie Grütze bei raus und ich seh nicht so recht warum.

Meine konkreten Werte sind:

\(u_1= a\cdot( 2, \varepsilon, \varepsilon)^t \)
\(u_2= b\cdot( 0, 1, -1)^t \)
Die Vorfaktoren der Vektoren kann ich ja ignorieren, da das strecken/stauchen der Vektoren für die Orthogonalität egal ist.

Wenn ich also \(u_3=(x,y,z)\) finden möchte kann ich also das LGS lösen:

1. \(2x + \varepsilon y + \varepsilon z =0 \)
2. \(0 +  y - z=0 \)

Ich erhalte ein unterbestimmtes Gleichungssystem, wähle also \(z=t\)
(was ja bedeuten sollte, dass für jedes \(t\) der Vektor orthogonal auf \(u_1,u_2\) steht?)
anschließend ergibt sich \(y=t\) und \(x=-t\).
Ich wähle \(t=1\) und normiere und erhalte \(u_3 = c \cdot (-1,1,1)^t \).
Der steht nur leider nicht wie angenommen senkrecht auf den beiden anderen... das ergibt für mich keinen Sinn, denn das LGS sollte doch der Forderung \(\langle u_1, u_3 \rangle = 0 , \langle u_2, u_3 \rangle = 0 \) gleichkommen oder?

7. Bestimme \(V\)
Das sind ja nur die \(v_i\) hintereinander gereiht für die SWZ abschließend nurnoch transponieren.

8. Probe,
leider geht die wie anfangs erwähnt in die Hose. Ich hab meine Anmerkungen/Annahmen/Fragen immer dabei geschrieben, vielleicht kann mich ja der ein oder andere was diese angeht erleuchten.

VG Tamref



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

vieleicht hilft dir das: Ein Vektor im \( \IR^3\), der auf \( v\) und \( w\) senkrecht steht, ist \( v\times w\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-09


2021-01-09 16:23 - Tamref im Themenstart schreibt:
anschließend ergibt sich \(y=t\) und \(x=-t\).

Hallo Tamref,

da fehlt in \(x\) ein Faktor \(\varepsilon\).

Viele Grüße,
  Stefan




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Tamref
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-10


Oh ja, der Faktor ist mir wohl entwischt. Danke, danach stimmt die Probe.

Kann mir noch jemand etwas zu meinen eingestreuten theoretischen Fragen sagen bitte? Ich machs mal als Liste damit es leichter ist drauf zu antworten.

1. Warum müssen die Eigenwerte/Signulärwerte der größe nach sortiert werden?

2. Hat das wirklich eine "Bedeutung" oder geht es lediglich darum, dass es in jedem Teil der Zerlegung die gleiche Anordnung/Reihenfolge ist?

3. Sprich köntne ich auch immer zuerst den kleinsten, statt den größten Eigenwert/Singulärwert/Eigenvektor angeben und käme ebenso zum Ergebnis?

4. Respektive könnte ich sie mischen wie ich möchte, hauptsache die Reihenfolge bleibt in jedem Schritt gleich?

5. Ist die normierung in den Schritten notwendig oder optional? Was ändert sich dadurch?

6. Stehen die Vektoren aus 6.1 (Abschnitt meiner ersten Nachricht) immer bereits orthogonal aufeinander?

VG Tamref



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-23


2021-01-09 16:23 - Tamref im Themenstart schreibt:
Ich bin wie folgt vorgegangen.
[...]
2. Charakteristisches Polynom von \(AA^t\) berechnen.

Das finde ich sehr seltsam. Da wir uns im Numerik-Unterforum befinden nehme ich an, dass du numerische Verfahren benutzt, um die Eigenwerte zu finden. Aber das dürfte keine gute Idee sein; sämtliche mir bekannte numerische Eigenwert-Verfahren finden diese direkt, und nicht über das charakteristische Polynom.


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen. (Kol.2:9)



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Tamref
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Wenn es sich um nidrige Dimensionen handelt und man es von Hand macht geht es ganz einfach schneller, als mit einem numerischen Verfahren.

Aufgaben die in der Numerik gestellt werden, wenn man es als Student zum ersten Mal lernt sind heruntergrbrochen, so dass man sie von Hand lösen kann. Man soll halt nur die Konzepte verstehen.
Es mag vielleicht nicht "numerisch" sein, doch wenn man sich nicht in zu hohen Dimensionen bewegt kann man oft doch den ein oder anderen Trick anwenden um sich Arbeit zu sparen.



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