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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Gleichseitige Dreiecke und Gerade
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Kein bestimmter Bereich * Gleichseitige Dreiecke und Gerade
Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-13


Es seien $n\geq 2$ gleichseitige Dreiecke der Kantenlänge $s$ wie in folgender Abbildung nebeneinander angeordnet, die, wie gezeigt, von einer Geraden geschnitten werden:

<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{0}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!55}
\colorlet{oben}{yellow!55}



%\ifnum\bew=1
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : 6}
%\fi

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}

% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi

\end{tikzpicture}
</math>

Berechne die hervorgehobene Gesamtfläche.

<math>\hline</math>
Vollständige Lösungen der Rätselaufgabe hier im Hide-Rahmen.



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13


Zum Vergleich: Ist $n=10$ und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks gleich $6\text{cm}^2$, so ist die gesuchte Fläche gleich $41\text{cm}^2.$



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-13



Wir berechnen zunächst die Summe der weißen Dreiecke.

Nach dem Strahlensatz sind die rechten Seiten der weißen Dreiecke
$s-\frac{s}{n},s-\frac{2s}{n},...s-\frac{(n-1)s}{n}$

und die linken Seiten der weißen Dreiecke
$s,s-\frac{s}{n-1},s-\frac{2s}{n-1},...s-\frac{(n-2)s}{n-1}$.

Die Flächensumme der weißen Dreiecke ist daher (Winkel an der Spitze ist immer 60°):
$\frac{1}{2}s(s-\frac{s}{n})\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(s-\frac{s}{n-1})(s-\frac{2s}{n})\frac{\sqrt{3}}{2}+...+\frac{1}{2}(s-\frac{(n-2)s}{n-1})(s-\frac{(n-1)s}{n})\frac{\sqrt{3}}{2}=$
$=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}\cdot((1-\frac{1}{n})+(1-\frac{1}{n-1})(1-\frac{2}{n})+...+(1-\frac{n-2}{n-1})(1-\frac{n-1}{n})=$
$=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}\cdot\sum_{k=1}^{n-1}(1-\frac{k-1}{n-1})(1-\frac{k}{n})=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}\cdot(\frac{n}{3}-\frac{1}{6})$

Die orange Flächensumme ist schließlich
$\frac{s^2\sqrt{3}}{4}\cdot n-\frac{s^2\sqrt{3}}{4}\cdot(\frac{n}{3}-\frac{1}{6})=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}\cdot(\frac{2n}{3}+\frac{1}{6})$



Grüße Squire

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-13


schöne aufgabe,
ich komme für die hervorgehobene Gesamtfläche auf:
fed-Code einblenden





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cramilu
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Herkunft: Bierfranken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-13


Ich komme [ebenfalls] auf...



\(A\: =\: s^2\,\cdot\,\frac{(4n+1)\,\cdot\,\sqrt{3}}{24}\)

Dazu habe ich Warios Grafik oben um eine Verbindungslinie
zwischen den Dreiecksspitzen erweitert.
Als "Gesamtfigur" ergibt sich ein gleichschenkliges Trapez.
Dann habe ich meine Betrachtung auf das linke Parallelogramm
eingeengt, welches zunächst in \((n-1)\) gleiche Rauten zerfällt.
Letztere werden durch die Schräge derart geteilt,
dass außer zwei gleichen Kolonnen von \((n-1)\) Dreiecksstümpfen
auch \((n-1)\) "Strahlensatzfiguren" entstehen - mit nach Strahlensatz
gleichmäßig wachsenden bzw. schrumpfenden parallelen Seiten und
Höhenlinien durch den jeweiligen "Kreuzungspunkt"...



Leider habe ich es mir hernach unnötig kompliziert gemacht,
weil ich zunächst den Flächeninhalt \(A_P\) des Parallelogrammes
ermittelt habe, dann selbigen halbiert und erst am Ende den \(A_K\)
der "Kolonne" von Strahlensatzdreiecken abgezogen...
Die genaue Rechnerei liefere ich bei Gelegenheit nach;
"zwischendurch" benötigt man die Summenformeln nach Gauß
und jene nach ?Brahmagupta? (Quadratzahl-Summe)...
... und dann Obacht beim Verrechnen[!] und "Kürzen" der \(n\)! 🙄



-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14


2021-01-13 04:47 - Wario im Themenstart schreibt:
Es seien $n\geq 2$ gleichseitige Dreiecke der Kantenlänge $s$ wie in folgender Abbildung nebeneinander angeordnet, die, wie gezeigt, von einer Geraden geschnitten werden:

<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{0}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!55}
\colorlet{oben}{yellow!55}



%\ifnum\bew=1
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : 6}
%\fi

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}

% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi

\end{tikzpicture}
</math>

Berechne die hervorgehobene Gesamtfläche.



Lösung.
<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{1}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}

\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};

\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}
</math>

Sei $F=\dfrac12 s^2 \sin(60^\circ)$ die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks und seien $F_1, F_2,\dots, F_n$ die Teilschnittflächen oberhalb der Geraden mit den gleichseitigen Dreiecken bei den Punkten $P_1, P_2,\dots, P_n$.

Dann entliest man aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $P_1$ für die Kanten $x_k$ und $y_k$ (mit $k=1,2,\dots,n$) der Teildreiecke

$\begin{array}{l l l l}
\dfrac{x_2}{s} =\dfrac{s}{n s}
  &\Leftrightarrow~
      x_2 = \dfrac{s}{n} \\[1em]
\dfrac{y_2}{s} =\dfrac{s}{(n-1) s}
  &\Leftrightarrow~
      y_2 = \dfrac{s}{n-1}
         &\Rightarrow
          F_2 =\dfrac12 x_2 y_2 \sin(60^\circ)
                =\dfrac12 \dfrac{s}{n} \dfrac{s}{n-1} \sin(60^\circ)
&\Leftrightarrow~ F_2 =\dfrac{F}{n(n-1)} \\[1em]
%
\dfrac{x_3}{s} =\dfrac{2s}{n s}
  &\Leftrightarrow~
      x_3 = \dfrac{2s}{n} \\[1em]
\dfrac{y_3}{s} =\dfrac{2s}{(n-1) s}
  &\Leftrightarrow~
      y_3 = \dfrac{2s}{n-1}
         &\Rightarrow
          F_3 =\dfrac12 x_3 y_3 \sin(60^\circ)
                =\dfrac12 \dfrac{2s}{n} \dfrac{2s}{n-1} \sin(60^\circ)
&\Leftrightarrow~ F_3 =\dfrac{2^2 F}{n(n-1)} \\[1em]
%
\hphantom{\dfrac{x_2}{s}}\vdots & \hphantom{\Leftrightarrow~}\vdots
& \hphantom{\Rightarrow~}\vdots  & \hphantom{\Leftrightarrow~}\vdots  \\[1em]
%
\dfrac{x_n}{s} =\dfrac{(n-1) s}{n s}
  &\Leftrightarrow~
      x_n = \dfrac{(n-1) s}{n} \\[1em]
\dfrac{y_n}{s} =\dfrac{n s}{n s} =1
  &\Leftrightarrow~
      y_n = s =\dfrac{(n-1) s}{(n-1)}
         &\Rightarrow
          F_n =\dfrac12 x_n y_n \sin(60^\circ)
                =\dfrac12 \dfrac{(n-1)s}{n} \dfrac{(n-1)s}{n-1} \sin(60^\circ)
&\Leftrightarrow~ F_n =\dfrac{(n-1)^2 F}{n(n-1)} \\[1em]
\end{array}$

Damit ergibt sich für die Summe $F_O$ der oberen Teilschnittflächen

$\begin{array}{l l}
F_O=F_1+F_2+\dots+F_n
 &=\dfrac{F}{n(n-1)}\left(1^2+2^2 +\dots+ (n-1)^2  \right) \\[1em]
 &=\dfrac{F}{n(n-1)} \dfrac{(n -1) n (2n -1)}{6} %\\[1em]
 %&
 =  \underline{\underline{ \dfrac{2n-1}{6} F  }}
\end{array}$

da $\displaystyle\boxed{  
\sum\limits_{k=1}^{N} k^2   =\dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}   }
$

Beweis.
Berechnung der Summe $\sum\limits_{k=1}^{N} k^2$  entspricht der Berechung des Volumens $V$ der folgenden Blockpyramide (im
Beispiel $N=5$), die sich aus Würfeln der Kantenlänge $1$ zusammensetzt.

 <math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{0}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}

% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}

\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}

\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi

%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}

\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);

\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}

% Grund- und Deckflche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1)  -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k)  -- (C\k) ;

\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);

% Fllung der Wrfelflchen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}

\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}

\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k)  -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}

% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}

\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S)

--(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;

% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q)  -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R)  -- (C\k1) --cycle;

% Kantensulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1)

coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);

\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;

\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================

% Abschlupyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi

\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi

% Vergleichskrper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]

\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P)  -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node

[midway, below]{$k$}  -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps)  -- (0,3,2) coordinate(Ss);

\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps)  --cycle;

\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);

\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{  \frac12 k =V_\text{KS}(k)  }$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);

\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1}  -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;

\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{  \frac13  =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================

\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);

\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;

\draw[] (A1) -- (B1)  -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);

\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{  1 =V_\text{W}  }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>



Mit der Ergänzung von Eckpyramiden und Kantensäulen ergibt sich eine Vergleichspyramide:

<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}

% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}

\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}

\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi

%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}

\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);

\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}

% Grund- und Deckflche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1)  -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k)  -- (C\k) ;

\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);

% Fllung der Wrfelflchen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}

\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}

\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k)  -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}

% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}

\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;

% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q)  -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R)  -- (C\k1) --cycle;

% Kantensulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);

\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;

\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================

% Abschlupyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi

\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi

% Vergleichskrper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]

\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P)  -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$}  -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps)  -- (0,3,2) coordinate(Ss);

\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps)  --cycle;

\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);

\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{  \frac12 k =V_\text{KS}(k)  }$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);

\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1}  -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;

\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{  \frac13  =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================

\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);

\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;

\draw[] (A1) -- (B1)  -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);

\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{  1 =V_\text{W}  }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>

Das Volumen der Vergleichspyramide berechnet sich zu

$V_\text{Py} =\frac13 G h =\frac13 \cdot (N+1)^2 \cdot (N+1)
=\dfrac{(N+1)^3}{3}.$

Das Gesamtvolumen aller Kantensäulen berechnet sich zu

$V_\text{KS}  
=2\sum\limits_{k=1}^{N} V_\text{KS}(k)
=2\sum\limits_{k=1}^{N} \frac12 k
=\sum\limits_{k=1}^{N} k
=\dfrac{N(N+1)}{2}
$

da $\boxed{  \sum\limits_{k=1}^{N} k=\dfrac{N(N+1)}{2}  }$

Beweis.
$\begin{array}{l l l}
\hphantom{=+}\sum\limits_{k=1}^{N} k &= 1 +2 +3 +\dots +N \\
\hphantom{=}+\sum\limits_{k=1}^{N} k
        &= N +(N-1) +(N-2) +\dots +1 \\ \hline
=2\sum\limits_{k=1}^{N} k &= (N+1) + (N+1)  +\dots +(N+1) = N\cdot(N+1) \hspace{11mm}\square
%=2\sum\limits_{k=1}^{N} k &= N\cdot(N+1) \hspace{11mm}\square
\end{array}$


Das Gesamtvolumen aller Eckpyramiden berechnet sich zu

$V_\text{EPy}
=(N+1) \cdot V_\text{EPy0}
=(N+1) \cdot \dfrac13
=\dfrac{N+1}{3}.$

Damit ergibt sich für das Volumen der Blockpyramide

$\begin{array}{l l}
\sum\limits_{k=1}^{N} k^2 =V
=V_\text{Py} -V_\text{KS}  -V_\text{EPy}
&=\dfrac{(N+1)^3}{3} -\dfrac{N(N+1)}{2} -\dfrac{N+1}{3} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{2(N+1)^2 -3N -2}{6} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{2(N^2+2N+1) -3N -2}{6} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{2N^2 +N}{6} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{N(2N +1)}{6} \hspace{11mm}\square
\end{array}$


$\begin{array}{l l l}
\Leftrightarrow~
\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1} k^2  
 =\left( \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \right)  -n^2
 &=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} -n^2 %\\
 &=\dfrac{n(n+1)(2n+1)-6n^2}{6}  \\
 &=n\dfrac{(n+1)(2n+1)-6n}{6}  %\\
 &=n\dfrac{2n^2+3n+1-6n}{6}  \\
 &=n\dfrac{2n^2-3n+1}{6}  %\\
  &=n\dfrac{2n^2-n -2n+1}{6}  \\[0.75em]
 &=n\dfrac{n(2n-1)-(2n-1)}{6} % \\
 &=\dfrac{(n -1) n (2n -1)}{6}  
\end{array}$

Die gesuchte Summe der unteren Teilschnittflächen $F_U$ ergibt sich entsprechend zu

$\begin{array}{l l l}
F_U=n F -F_O
 &=nF -\dfrac{2n-1}{6}F %\\[1em]
 &= \underline{\underline{ \dfrac{4n+1}{6} F  }}.
\end{array}$

Für die Verhältnisse der gesamten Schnittflächen zur Gesamtfläche aller Dreiecke erhält man

$\dfrac{F_U}{nF}
=\dfrac{\dfrac{4n+1}{6} F}{nF}
=\ \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{n}
$ bzw. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{F_U}{nF}
=\dfrac{2}{3}$

und $\dfrac{F_O}{nF}
=\dfrac{\dfrac{2n-1}{6} F}{nF}
=\ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n}
$ bzw. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{F_O}{nF}
=\dfrac{1}{3}.$


<math>
\def\allgm{0}
\def\bew{0}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}

\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};

\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}
</math>

<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}

% Einstellungen
\def\vglvol{0}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}

\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}

\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi

%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}

\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);

\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}

% Grund- und Deckflche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1)  -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k)  -- (C\k) ;

\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);

% Fllung der Wrfelflchen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}

\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}

\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k)  -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}

% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}

\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;

% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q)  -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R)  -- (C\k1) --cycle;

% Kantensulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);

\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;

\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================

% Abschlupyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi

\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi

% Vergleichskrper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]

\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P)  -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$}  -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps)  -- (0,3,2) coordinate(Ss);

\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps)  --cycle;

\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);

\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{  \frac12 k =V_\text{KS}(k)  }$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);

\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1}  -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;

\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{  \frac13  =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================

\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);

\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;

\draw[] (A1) -- (B1)  -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);

\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{  1 =V_\text{W}  }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-14


über den flächenanteil gerechnet scheint es leichter zu sein als über die seiten
die lösung ist auch nicht auf gleichseitige dreiecke beschränkt, sie geht wohl für alle dreiecke n≥2 die auf einer grundseite stehen

ich such noch eine geometrische erklärung für den addierten absoluten F/6  anteil bei der schreibweise
fed-Code einblenden




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haribo
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nicht wirklich meine idee, aber hier ist nochmal eine geometrische 2D herleitung der formel für die summe von quadraten von 1 bis n

fed-Code einblenden



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haribo
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dito mit weniger schnitten




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