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 Widerspruch bzgl. der Ideale in Z[X] |
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kokosnusskopf
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 |      Themenstart: 2021-01-14 02:22
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Ich habe hier einen vermeintlichen Widerspruch gefunden und finde meinen Denkfehler nicht:
Sei I ein Ideal von Z[X] ungleich der leeren Menge. Wähle z als eine Polynom in I mit minimalem Grad und sei das Polynom a aus I beliebig. Da Z[X] euklidischer Ring ist mit der Funktion, die ein Polynom auf ihrem Grad abbildet als Norm, kann man Division mit Rest durchführen:
a = q*z + r
wobei q,r aus Z[X] sind und entweder r = 0 oder Grad(r) < Grad(z) gilt. Wegen z aus I ist auch q*z aus I. Weil auch a aus I ist, folgt r aus I. Wäre nun r =/= 0, so wäre dies ein Widerspruch zur Minimalität vom Grad von z. Ist r = 0 so ist das anfangs beliebig gewählte polynom a Vielfaches von z. Somit folgt I ist Hauptideal erzeugt von z.
Jedoch ist nicht jedes Ideal von Z[X] ein Hauptideal. Wo ist mein Fehler?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-14 02:24
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$\IZ[X]$ ist kein euklidischer Ring mit der üblichen Gradfunktion (sogar mit gar keiner Gradfunktion, eben weil $\IZ[X]$ kein Hauptidealring ist); zum Beispiel kann man nicht $X$ durch $2$ mit Rest teilen. (Und du meinst nicht, dass das Ideal nichtleer ist, sondern $\neq \{0\}$.) Was du übrigens hier gemacht hast, ist den Beweis hinzuschreiben, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist.
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kokosnusskopf
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14 02:29
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2021-01-14 02:22 - kokosnusskopf im Themenstart schreibt:
Ist r = 0 so ist das anfangs beliebig gewählte polynom a Vielfaches von z. Somit folgt I ist Hauptideal erzeugt von z.
Ok streng genommen folgt nur, dass I eine Teilmenge des Hauptideals ist, jedoch gibt es immernoch Gegenbeispiele wie das Ideal I := {p*f + X*g | f,g aus Z[X]} wobei p aus Z
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-14 02:30
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2021-01-14 02:29 - kokosnusskopf in Beitrag No. 2 schreibt:
Ok streng genommen folgt nur, dass I eine Teilmenge des Hauptideals ist
Nein. Es gilt doch $z \in I$ von Anfang an.
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kokosnusskopf
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14 02:31
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2021-01-14 02:24 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
$\IZ[X]$ ist kein euklidischer Ring mit der üblichen Gradfunktion (sogar mit gar keiner Gradfunktion, eben weil $\IZ[X]$ kein Hauptidealring ist); zum Beispiel kann man nicht $X$ durch $2$ mit Rest teilen. (Und du meinst nicht, dass das Ideal nichtleer ist, sondern $\neq \{0\}$.) Was du übrigens hier gemacht hast, ist den Beweis hinzuschreiben, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist.
Ahh verschickt (verrückt) ich hatte das bisher komischerweise nie hinterfragt. Q[X] ist euklidisch, oder?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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kokosnusskopf
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14 02:32
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kokosnusskopf
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14 02:33
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2021-01-14 02:30 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-01-14 02:29 - kokosnusskopf in Beitrag No. 2 schreibt:
Ok streng genommen folgt nur, dass I eine Teilmenge des Hauptideals ist
Nein. Es gilt doch $z \in I$ von Anfang an.
ja stimmt meine Anmerkung war an der Stelle schlecht
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Triceratops
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-14 02:38
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2021-01-14 02:31 - kokosnusskopf in Beitrag No. 4 schreibt:
hinterfragt. Q[X] ist euklidisch, oder?
Für jeden Körper $K$ ist $K[X]$ ein euklidischer Ring.
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