Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Ableitung einer Vektor-Matrix-Beziehung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Ableitung einer Vektor-Matrix-Beziehung
schneitzmaster
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.03.2010
Mitteilungen: 176
Herkunft: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-14


Hallo liebe Planetarier,
es sei folgende Gleichung gegeben:
\[\vec{a} = \underline{T} \, \vec{b}\] mit $\vec{a}=[x,y]^T$, $\vec{b}=[x,y,z]^T$ und $\underline{T}
=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0
\end{bmatrix}
.$
Offensichtlich ist also
\[
\frac{\partial \vec{a}}{\partial \vec{b}} = \underline{T}
\quad.
\] Ich würde nun gern die Umkehrung dieser Ableitung allgeimen bestimmen, also den Ausdruck
\[
\frac{\partial \vec{b}}{\partial \vec{a}} = ?
\] ermitteln und zwar nicht durch "einfaches" durchexerzieren, sondern am liebsten in dem ich die Gleichung $\vec{a}=\underline{T}\,\vec{b}$ umstelle.
Leider geht das ja nicht ohne weiteres das $\underline{T}$ keine invertierbare Matrix ist.
Meine Idee war nun mit $\underline{T}^T$ zu multiplizieren, was mir
\[
\underline{T}^T \vec{a} =
\underline{T}^T\underline{T}\vec{b}
=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &0
\end{bmatrix}
\vec{b}
\] gibt.
Damit lässt sich der Vektor $\vec{b}$ leider auch nicht isolieren.
Wie könnte man hier geschickter vorgehen um direkt das Ergebnis
\[
\frac{\partial \vec{b}}{\partial \vec{a}} = \underline{T}^T
\] zu bekommen?


-----------------
It's not a bug, it's a feature.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3788
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16


Hallo schneitzmaster,
die beiden Gleichungssysteme

\(\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix}
\)

und

\(
\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 &1 \\
0 &0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
\)

sind nicht äquivalent. Beispielsweise ist \(a_1=a_2=b_1=b_2=0 , a_3=1\) eine Lösung des ersten aber keine Lösung des zweiten Gleichungssystems. Deshalb dürfte es schwer sein, eine Äquivalenzumformung für die Ableitung zu finden. Warum auch? Es gilt doch allgemein in einer Vektor-Matrix-Beziehung y=Ax dass dy/dx=A ist. Das kann man für beide Gleichungssysteme sofort anwenden.

Viele Grüße,
  Stefan




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
schneitzmaster hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]