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Lineare Algebra » Vektorräume » Faktorräume und (un)endliche Erzeugbarkeit
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Universität/Hochschule Faktorräume und (un)endliche Erzeugbarkeit
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-15


Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade:

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mathbb{K}$, und seien $U$ und $W$ Unterräume von $V$.

Zu beweisen oder zu widerlegen sind die folgenden Aussagen:

1. Wenn $V/U$ oder $V/W$ endlich erzeugt sind, dann ist $V/(U+W)$ endlich erzeugt.

2. Wenn $V/(U+W)$ endlich erzeugt ist, dann ist $V/U$ oder $V/W$ endlich erzeugt.


Ich weiß nun nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Zunächst dachte ich mir, man könnte über die Dimensionsformel für Faktorräume irgendwie argumentieren.

In 2. zum Beispiel ist $V/(U+W)$ endlich erzeugt und damit wäre ja $dim(V/(U+W)) = dim V - dim(U+W)$. Die Dimensionsformel für Untervektorräume liefert $dim(V_1) + dim(V_2) = dim(V_1 + V_2) + dim(V_1 \cap V_2) \ge dim(V_1 + V_2)$, also

$dim(V/(U+W)) = dim V - dim(U+W) \ge dim(V) - dim(U) - dim(W) = dim(V) - dim(W) - dim(U) = dim(V/W) - dim(U)$ und daraus folgt

$dim(V/W) \le dim(V/(U+W)) + dim(U)$

Andrerseits folgt

$dim(V/(U+W)) \ge dim(V) - dim(U) - dim(W) = dim(V/U) - dim(W)$ und damit
dim(V/U) \ge dim(V/(U+W)) + dim(W
)
Nun wissen wir, dass $V/(U+W)$ endlich erzeugt ist. Aber was ist mit dim(U) bzg. dim(W)?


Zu 1. Hier würde ich intuitiv sagen, dass die Aussage falsch ist, ohne wirklich sagen zu können, warum.


Könnt ihr mir helfen?
Ich wäre euch wie immer sehr dankbar! 🙂

Viele Grüße,
X3nion




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15


Bei der Dimensionsformel musst du aufpassen. Eventuell habt ihr sie nur im endlich-erzeugten Fall bewiesen (auch wenn sie gleichwohl allgemein gilt). Kardinalzahlen (und die Dimension eines allgemeinen Vektorraumes ist eine Kardinalzahl) kann man nicht voneinander subtrahieren. Tatsächlich ist die Kardinalzahlarithmetik anfangs etwas ungewohnt, es gibt seltsame Gleichungen wie etwa $\kappa + \kappa = \kappa$ für unendliche Kardinalzahlen $\kappa$. Daher funktioniert dein Beweis bei 2. nicht.

Was die Lösung der Aufgabe 1 angeht, gebe ich dir den Tipp, eine surjektive lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen (die Richtung verrate ich noch nicht) $ V/U$ und $V/(U + W)$ zu finden.

Zu Aufgabe 2: Überlege dir, was die Aussage für den Fall $V=U+W$ bedeuten würde.

PS: Der Begriff "Faktorraum" ist veraltet (und irreführend), besser ist "Quotientenraum" oder ausführlicher hier "Quotientenvektorraum".



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15


Hi Triceratops und vielen Dank einmal wieder für deine Erläuterungen und Tipps! :)

Zu 2. Im Falle $(U+W) / (U+W)$ ist dies doch der Nullvektorraum, sofern $(U+W) / (U+W)$ endlich erzeugt ist. Dann hätten wir die zwei Quotientenvektorräume $(U+W)/U$ und $(U+W)/W$.
Frage 1) Was kann man über die beiden dann aussagen?


Zu 1. Sei $f: V \to V$ die Identität.
Definiere die induzierte Abbildung $\overline{f}(v+U) = f(v) + (U+W)$.

- Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn sei $v+U \in V/U$ beliebig. Dann ist $v \in V$ und $\overline{f}(v+U) = f(v) + (U+W) \in V/(U+W)$, denn $f(v) = v \in V$.

Seien nun $x,y \in V$ mit $x + U = y + U$. Das bedeutet $x-y \in U$.
Wir wollen zeigen, dass $\overline{f}(x + U) = \overline{f}(y + U)$, bzw. $f(x) - f(y) \in (U+W)$. Es ist $f(x) - f(y) = x-y \in U$.
Aus $x-y \in U$ folgt $x-y \in U+W$. Damit gilt $f(x) - f(y) \in U+W$ und es folgt die Wohldefiniertheit von $\overline{f}$


- Weiter ist $\overline{f}$ linear.
Seien hierzu $(v+U)$ und $(w+U)$ aus $V/U$. Dann folgt:
$\overline{f}((v+U)+(w+U)) = \overline{f}((v+w) + U) = f(v+w) + U = (f(v) + f(w)) + U = (f(v) + U) + (f(w) + U) = \overline{f}(v+U) + \overline{f}(w+U)$.

Sei ferner $a \in \mathbb{K}$. Dann folgt:
$\overline{f}(a(v+U)) = \overline{f}(av + U) = f(av) + U = af(v) + U = a \overline{f}(v+U)$.

- Zur Surjektivität:
Sei hierzu $y \in V/(U+W)$ beliebig. Dann gibt es ein $x \in V$, sodass $y = x + (U+W)$. Aufgrund der Bijektivität von f gilt $f(x) = x$. Damit ist $\overline{f}(x+U) =  f(x) + (U+W) = x + (U+W) = y$.


Frage 2) Wäre diese Herangehensweise soweit in Ordnung und zielführend?
Und ist die Richtung die richtige?
Ich denke ja, weil man sonst beim Beweis über die Wohldefiniertheit aus $(x-y) \in (U+W)$ nicht folgern könnte, dass $(x-y) \in U$?

Viele Grüße,
X3nion



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-15


Ich habe mir den Beweis nicht genau angesehen. Ich finde es seltsam, dass du der Identität einen extra Namen ($f$) gibst. Der Punkt ist eben, dass man gar nichts nachrechnen muss. Du kennst bereits den Homomorphiesatz, richtig? Der Kern der Projektion $\pi_{U+W} : V \to V/(U + W)$ ist ja $U+W$, was größer als $U$ ist, das heißt diese lineare Abbildung verschwindet auf $U$. Der Homomorphiesatz liefert also eine lineare Abbildung $\varphi : V/U \to V/(U + W)$ mit $\varphi \circ \pi_U = \pi_{U+W}$. Weil $\pi_{U+W}$ surjektiv ist, ist es auch $\varphi$.

Was kannst du daraus nun für Aufgabe 1 schließen?

Zu Aufgabe 2 vielleicht noch einmal deutlicher: Seien $ U,W$ beliebige Vektorräume. Es gibt einen Vektorraum $V$, der (Kopien von) $U,W$ enthält mit $V = U + W$, zum Beispiel die direkte Summe Summe  $V = U \oplus W$. Die Aussage wäre nun, dass ...



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15


Hallo Triceratops,

vielen vielen Dank dir wieder für deinen ausführlichen Input!

Ja, den Homomorphiesatz kenne ich. Und irgendwie hatte ich auch das Gefühl, dass man diesen heranziehen kann, zumal es ja nur um Faktorräume geht.

Tut mir Leid, ich kann das Diagramm noch nicht zeichnen.

Sei $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine Zerlegung von $f$

  V ---------------------------------> W


            V / ker f          im f

wobei $V \to V / ker \; f, v \mapsto v + ker \; f \equiv [v]$ die Projektionsabbildung, $i: im \; f \to W$ die Inklusionsabbildung $w \mapsto w$ und $\overline{f}: V / ker \; f \to im \; f$ die von f induzierte Abbildung $\overline{f}[(a]):= f(a)$ ist. Das obige Diagramm kommutiert. $\overline{f}$ ist ein Isomorphismus.


Frage 1) Ist es jetzt so, dass in unserem Falle $\pi_{U+W}: V \to V / (U+W)$ die obige Abbildung f ist? Es gilt $kern(\pi_{U+W}) = U+W$, also insbesondere auch $\pi_{U+W}(x) = U+W$ für alle $x \in U$.

Damit können wir $\pi_{U}: V \to V/U$ definieren, denn $U \subset kern \; \pi_{U+W}$ ?
Aber ist dies dann nicht dem Homomorphiesatz "zuwider", da $U \neq ker \; f$ ist?

Frage 2) Der Homomorphiesatz liefert doch nun ein kommutierendes Diagramm mit $\pi_{U+W} = i \circ \phi \circ \pi_{U}$, wobei i die Inklusionsabbildung ist. Woher wissen wir, dass in diesem Falle $im \; \pi_{U+W} = V/(U+W)$ ist und damit $\pi_{U+W} = \phi \circ \pi_{U}$ gilt, wie du schreibst?
Wir wissen ja a priori nur, dass $im \; \pi_{U+W} \subset V/(U+W)$ ist?

Frage 3) Und woher wissen wir, dass $\pi_{U+W}$ surjektiv ist?


Viele Grüße,
X3nion


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Guten Morgen,

ich wollte nur kurz meinen Beitrag noch mal nach oben schieben, damit man meine zusätzlichen Fragen nicht übersieht.

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-16


Der Homomorphiesatz sagt etwas anderes: Sei $f : V \to W$ linear, $U \subseteq \ker(f)$ (also $f|_U = 0$). Dann gibt es genau eine lineare Abbilung $\overline{f} : V/U \to W$ mit $\overline{f} \circ \pi_U = f$. Hierbei ist $\pi_U : V \to V/U$ die Projektion. Dass $\pi_U$ surjektiv ist, ist dir wirklich nicht klar? Merkregel: Wann immer du mit Quotientenräumen arbeiten möchtest, denke an den Homomorphiesatz. Dieser Satz ist das Mittel der Wahl, um lineare Abbildugnen auf Quotientenräumen zu konstruieren. Er sagt ja genauer gesagt aus, dass es eine Bijektion zwischen $\mathrm{Hom}(V/U,W)$ und $\{f \in \mathrm{Hom}(V,W) : f|_U = 0\}$ gibt. Ich hoffe, du kannst meinen vorigen Beitrag damit etwas besser verstehen?



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-16


@X3nion

Vielleicht hilft eine einfache Beobachtung. Seien $f: X\to Y$ und $g: Y\to Z$ zwei mengentheoretische Abbildungen. Ist $g\circ f$ surjektiv, dann ist $g$ auch surjektiv.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Hallo zusammen und vielen Dank euch für eure Antworten!

Mir ist die Surjektivität von $\pi_{U+W}$ nicht klar, dies ist doch unser f in $f = \overline{f} \circ \pi_{U}$, und $\overline{f}$ ist $\phi$.
Die Begründung, dass $\pi_{U}$ surjektiv ist, ist wohl analog dazu, dass $\pi_{U+W}$ surjektiv ist.
Aber ich sehe den Punkt nicht.

Möchtet ihr ihn mir vielleicht kurz erklären?

Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-17


Du musst die Definition / Konstruktion von Quotientenvektorräumen wiederholen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Ist es so, dass zu jedem $v \in V$ genau ein $v + U \in V/U$ zugeordnet wird, und die Abbildung damit die Abb. nach Definition subjektiv ist?
Es gilt ja dann $f(v)= [v]$?

Viele Grüße,
X3nion


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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-17


Behauptung. Die Aussage 1 im Themenstart ist richtig.
Beweis:
2021-01-15 04:35 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Der Kern der Projektion $\pi_{U+W} : V \to V/(U + W)$ ist ja $U+W$, was größer als $U$ ist, das heißt diese lineare Abbildung verschwindet auf $U$. Der Homomorphiesatz liefert also eine lineare Abbildung $\varphi : V/U \to V/(U + W)$ mit $\varphi \circ \pi_U = \pi_{U+W}$. Weil $\pi_{U+W}$ surjektiv ist, ist es auch $\varphi$.
weil
2021-01-16 23:15 - Saki17 in Beitrag No. 7 schreibt:
Seien $f: X\to Y$ und $g: Y\to Z$ zwei mengentheoretische Abbildungen. Ist $g\circ f$ surjektiv, dann ist $g$ auch surjektiv.
+
Sei $\phi: X\to Y$ eine lineare Abbildung. Ist $X$ endlich erzeugt, dann ist das Bild $im(\phi)$ endlich erzeugt.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Hey und vielen Dank für die Erklärung! 🙂

Ich habe nun verstanden. Die Vorüberlegungen sichern uns, dass die Abbildung $\phi: V/U \to V/(U+W)$ surjektiv ist. Es gilt also $im(\phi) = V/(U+W)$.

Mit der zweiten Aussage ist $im(\phi)$ endlich erzeugt, und damit folgt die Behauptung.

Ich kannte die Variante des Homomorphiesatzes nicht-


Was ist mit 2?
Hier meinte Triceratops, ich solle mal $V = U \oplus W$ betrachten.
Ich überlege schon die ganze Zeit, was die Aussage dann bedeuten würde. Wäre dann $V / (U+W)$ nicht der Nullraum?
Und was folgte für $V/U$ bzw. $V/W$?


Viele Grüße,
X3nion


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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-17


2021-01-17 12:44 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich kannte die Variante des Homomorphiesatzes nicht-
Das hat Triceratops bereits für dich im Beitrag 6 beschrieben:
2021-01-16 21:43 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
Der Homomorphiesatz sagt etwas anderes: Sei $f : V \to W$ linear, $U \subseteq \ker(f)$ (also $f|_U = 0$). Dann gibt es genau eine lineare Abbilung $\overline{f} : V/U \to W$ mit $\overline{f} \circ \pi_U = f$. Hierbei ist $\pi_U : V \to V/U$ die Projektion. [...] Er sagt ja genauer gesagt aus, dass es eine Bijektion zwischen $\mathrm{Hom}(V/U,W)$ und $\{f \in \mathrm{Hom}(V,W) : f|_U = 0\}$ gibt.
(versuche auch, die Aussagen im Zitat selbst zu beweisen)

2021-01-17 12:44 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Was ist mit 2?
Hier meinte Triceratops, ich solle mal $V = U \oplus W$ betrachten.
Ich überlege schon die ganze Zeit, was die Aussage dann bedeuten würde. Wäre dann $V / (U+W)$ nicht der Nullraum?
Und was folgte für $V/U$ bzw. $V/W$?
Wenn $U\cap W=0$, dann gilt ja $U+W=U\oplus W$. In diesem Fall folgt $(U+ W)/U=W$ und $(U+ W)/W=U$ (Dies ist ein kanonischer Isomorphismus, weshalb ich es mit $=$ anstatt $\cong$ notiere. Es gilt die Merkregel: "Quotienten kommutieren mit direkten Summen" - in der Tat Kolimits kommutieren mit Kolimits, und Quotienten und direkten Summen sind spezielle Kolimits. Was ich hier genau meine kannst du nachher in Bemerkung 6.6.14 von einem schönen Buch zur Kategorientheorie einlesen. Aber für dieses Moment reicht es, einen expliziten Isomorphismus anzugeben.) Sicherlich gibt es eine Unmenge von Vektorräumen $U, W$, die nicht endlich erzeugt sind. Betrachte z.B. $U:=\IR,\, W:=i\IR$, wobei $i$ die imaginäre Einheit in der komplexen Ebene $\IC$ bezeichent. Dann gilt $U\cap W=0$ und die $\IQ$-Vektorräume $(U+W)/U=W$ und $(U+W)/W=U$ sind nicht endlich erzeugt, aber $(U+W)/(U+W)=0$ ist endlich erzeugt für triviale Gründe.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Hey saki17,

nochmals vielen Dank für deinen ausführlichen Beitrag!

Ja, die Aussage von Triceratops werde ich auf jeden Fall auch zu beweisen versuchen.

Wieso ist $(U+W)/U$ nicht endlich erzeugt als $\mathbb{Q}-Vektorraum$?
Liegt es daran, dass dieser isomorph zu W ist, und $\mathbb{Q}$ nicht vollständig ist?

Und ist die Aussage deshalb falsch, weil man mit dem Beispiel der reellen und imaginären Zahlen ein Gegenbeispiel konstruiert hat?

Viele Grüße,
X3nion


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2021-01-17 16:27 - X3nion in Beitrag No. 14 schreibt:
Wieso ist $(U+W)/U$ nicht endlich erzeugt als $\mathbb{Q}-Vektorraum$?
Liegt es daran, dass dieser isomorph zu W ist, und $\mathbb{Q}$ nicht vollständig ist?
Die erste Hälfte ist korrekt, die zweite verstehe ich nicht/vielleicht nicht ausreichend. Man könnte mit Kardinalität argumentieren: Die Menge $\IR$ ist überabzählbar, aber (die unterlegende Menge) jedes endliche Erzeugnis über $\IQ$ ist abzählbar.

2021-01-17 16:27 - X3nion in Beitrag No. 14 schreibt:
Und ist die Aussage deshalb falsch, weil man mit dem Beispiel der reellen und imaginären Zahlen ein Gegenbeispiel konstruiert hat?
Ja. Ich habe übrigens einen Fehler gemacht. Um die Aussage 2 zu widerlegen, müssen wir ein Beispiel $V, U, W$ finden, sodass $V/(U+W)$ endlich erzeugt aber $V/U$ UND $V/W$ nicht endlich erzeugt sind. Jetzt habe ich meinen letzten Beitrag korrigiert.



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Ich glaube, die Sache ist noch nicht ganz klar, daher hier noch einmal, worauf ich die ganze Zeit hinaus wollte:

Man nehme sich zwei* beliebige unendlich-dimensionale Vektorräume $U,W$. Definiere dann** $V := U \oplus W$. Dann ist $V/(U+W) = 0$ endlich-dimensional, aber $V/U = W$ und $V/W = U$ sind es nicht.

Wie bekommt man einen unendlich-dimensionalen $K$-Vektorraum? Man nimmt einfach $K \oplus K \oplus K \oplus \cdots$, also den Vektorraum aller endlichen Folgen. Für jedes $n \in \IN$ ist $K^n$ ein Teilraum davon; die Dimension muss also $\geq n$ sein.

*Sie können auch identisch sein!
**Selbst wenn $U,V$ identisch waren, haben ihre Kopien in $V$ einen trivialen Schnitt wegen der Definition der "äußeren" direkten Summe.



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Hallo ihr beiden und vielen vielen Dank für eure ausführlichen Beiträge!
Ich denke, es ist mir nun um einiges klar geworden.
Auch die Tatsache, wie man unendlich-dimensionale Vektorräume bekommt.

Eine Frage habe ich aber noch: wieso ist für $U,W$ unendlich-dimensional und $V:= U \oplus W$ der Vektorraum $(U+W)/W$ isomorph zu U?

Ich hätte über die Dimensionsformel für Faktorräume argumentiert, dass halt
dim ((U+W)/W) = dim (U+W) - W = dim(U) + dim(W) - dim(W) = dim(U),
aber da kam ja die Anmerkung von (dir) Triceratops, ja in deinem ersten Beitrag, dass man da aufpassen müsse?

Viele Grüße,
X3nion


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Wink mit dem Zaunpfahl: Du willst etwas über einen Quotientenraum zeigen, also ...



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Man nutzt den Homomorphiesatz.


Ein Ansatz:


Es ist $U \cap W$ der Kern der Abbildung $\phi:= \pi \circ i: U \to (U+W)/W$, wobei $\pi: U+W \to (U+W)/W$ die Projektionsabbildung und $i: U \to U+W$ die Inklusionsabbildung ist.

Es folgt, dass die induzierte Abbildung $\overline{\phi}: U / (U \cap W) \to (U+W) / W$, $\overline{\phi}([u]):= \phi(u)$ ein Isomorphismus ist.

(Diese Aufgabe hatten wir mal als Übungsaufgabe).

Wieso ist dann aber $U / (U \cap W)$ isomorph zu U?
Ich habe den Eindruck, dass dieser Schritt das Problem zur verlagert..
 

Viele Grüße,
X3nion


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$U \cap W = \{0\}.$



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Ja, ich bin in der Zwischenzeit selbst darauf gekommen.
Vielen vielen Dank für deine / eure Hilfe! 🙂

Es hat echt Spaß gemacht, und ich konnte so das Hantieren mit Quotientenräumen trainieren!

Viele Grüße und einen schönen Abend noch,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2021-01-18


Wenn du Spaß (!) daran hast, dann spendiere ich dir natürlich gerne eine weitere Aufgabe zu diesem Thema "Interessante Quotientenräume unendlich-dimensionaler Vektorräume". Mit welchem Hilfsmittel sie zu erledigen sind, dürfte mittlerweile klar sein.

1) Sei $V = \IR^{\IN}$ der $\IR$-Vektorraum aller Zahlenfolgen. Sei $C \subseteq V$ der Unterraum der konvergenten Zahlenfolgen. Sei $N \subseteq C$ der Unterraum der Nullfolgen. Zeige $C/N \cong \IR$. (Leicht.)

2) Sei $V = \IQ^{\IN}$ der $\IQ$-Vektorraum aller rationalen Zahlenfolgen. Sei $C \subseteq V$ der Unterraum der Cauchyfolgen. Sei $N \subseteq C$ der Unterraum der Nullfolgen. Zeige $C/N \cong \IR$. (Das ist insofern wichtig, als das eigentlich sogar eine mögliche Konstruktion(!) von $\IR$ aus $\IQ$ ist. Damit man auch die Körperstruktur bekommt, muss man allerdings noch beachten, dass $C$ sogar ein Ring und $N$ ein maximales Ideal von $C$ ist.)



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