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  Vollständige Induktion - Ungleichung - Endwert Summenzeichen |
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TMin
Junior 
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 6
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Guten Tag,
habe zwei Fragen zu der beigefügten Aufgabe.
Die Aufgabe samt Lösung ist einer Vorlesungs-Mitschrift von Marco Schreck entnommen, die es als .pdf im Internet gibt.
1. Wie kommt man von hier nach da?
  
sum(1/2^(n+1),k=2^n,2^n+2^n-1)=2^n*1/(2*2^n)
2. Wie sieht, unabhängig von der Lösung im .pdf, das n+1.te-Element aus?
sum(1/k,k=1,2^(n+1)-1)=sum(1/k,k=1,2^n-1)+?
Kann man die Summe hier überhaupt, wie in anderen Induktionsbeweisen auseinanderziehen?
In der Art
sum(1/k,k=1,n+1)=sum(1/k,k=1,n)+1/(n+1)
Danke für die Zeit.
Guten Start ins Wochenende!
Grüße T.
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15
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Huhu TMin,
herzlich willkommen auf dem Planeten! Zunächst mal dazu:
Du summierst über \(k\). Wie viele - von \(k\) unabhängige Summanden - hat nun diese Summe?
Gruß,
Küstenkind
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TMin
Junior
Dabei seit: 15.01.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-15
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Wie viele Summanden hat diese Summe?
\(\sum\limits_{n=0}^3a_n\)
Gruß,
Küstenkind
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TMin
Junior
Dabei seit: 15.01.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-15
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Das stimmt. Nach deiner obigen Rechnung wären es aber nur 3. Korrigiere das also.
Gruß,
Küstenkind
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TMin
Junior
Dabei seit: 15.01.2021
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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Alles klar. Damit erklären sich Faktor und gesamter Ausdruck.
Danke.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1943
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-15
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Prima - gerne! Deine 2. Frage verstehe ich nicht wirklich. Du möchtest meine ich nur ein Summanden abspalten, wie du es in deinem letzten Beispiel machst. Das funktioniert hier natürlich nicht. Das kannst du dir ja auch an einem Beispiel klarmachen. Sei \(n=5\). Dann ist \(2^n-1=32-1=31\) und \(2^{n+1}-1=2^6-1=64-1=63\). Es kommt im Schritt \(n\to n+1\) nun nicht nur ein Summand dazu. Du müsstest also nicht einen Summanden abspalten, sondern wieder eine Summe: \(\sum\limits_{k=1}^{63} a_k=\sum\limits_{k=1}^{31} a_k+\sum\limits_{k=32}^{63} a_k\). So wurde das ja auch auf deinem Scan gemacht, den ich gerade nur kurz überflogen habe.
Gruß,
Küstenkind
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TMin
Junior
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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Hallo Küstenkind,
vielen Dank. Top erklärt.
Was ich hieraus mitnehme, viel mehr mit Beispielen rechnen.
Gute Zeit!
Grüße T.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1943
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-15
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Huhu TMin,
vielen Dank - und auch dir alles Gute und einen schönen Start ins Wochenende! Vll liest man sich ja mal wieder auf dem Planeten - solch höfliche Menschen, die dazu auch gleich noch hübsch Formeln setzen und gut mitarbeiten sind immer gerne gesehen.
Take care!
Küstenkind
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TMin
Junior
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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