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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Unterschied Konvergenz im p-ten Mittel zu punktweiser Konvergenz fast überall
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Universität/Hochschule J Unterschied Konvergenz im p-ten Mittel zu punktweiser Konvergenz fast überall
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-15


Hallo,

ich frage mich was denn der genaue Unterschied zwischen Konvergenz im p-ten Mittel zu punktweiser Konvergenz fast überall ist?

Was ich weiß:
Konvergenz im p-ten Mittel ist eben Konvergenz bzgl der p-(pseudo/semi) Norm. Daher ist zB auch der Grenzwert nicht eindeutig bestimmt.
Und natürich müssen alle Glieder der Funktionenfolge und die Grenzwerte in ${\cal L}^p$ liegen.

Jetzt frage ich mich, wie das bei punktweiser Konvergenz fast überall aussieht? Ist da der Grenzwert ebenfalls nur bis auf eine Nullmenge bestimmt, also nicht eindeutig?
Und bezüglich welcher Norm muss die punkteweise Konvergenz denn gelten?

Ist Konvergenz im p-ten Mittel nur ein Spezialfall der punktweisen Konvergenz fast überall für Funktionen in ${\cal L}^p$ Räumen?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15


Hallo Gast123,

2021-01-15 17:19 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Jetzt frage ich mich, wie das bei punktweiser Konvergenz fast überall aussieht? Ist da der Grenzwert ebenfalls nur bis auf eine Nullmenge bestimmt, also nicht eindeutig?
Ja, der Grenzwert ist nur f.ü. eindeutig bestimmt.

2021-01-15 17:19 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Und bezüglich welcher Norm muss die punkteweise Konvergenz denn gelten?
Die punktweise Konvergenz (f.ü.) \(f_n\to f\) ist nicht die Konvergenz bezüglich einer Norm. Allerdings gilt für alle \(x\) außerhalb einer Nullmenge \(f_n(x)\to f(x)\) und diese Konvergenz ist jeweils bezüglich des Betrages auf \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C}\) gemeint, sofern Du reellwertige/komplexwertige Funktionen betrachtest.


2021-01-15 17:19 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Ist Konvergenz im p-ten Mittel nur ein Spezialfall der punktweisen Konvergenz fast überall für Funktionen in ${\cal L}^p$ Räumen?

Nein, wie die beiden Begriffe zusammenhängen siehst Du hier:
de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_im_p-ten_Mittel#Punktweise_Konvergenz_%CE%BC-fast_%C3%BCberall
bzw.
de.wikipedia.org/wiki/Punktweise_Konvergenz_%CE%BC-fast_%C3%BCberall#Konvergenz_im_p-ten_Mittel



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Hallo Sonnenschein96,

erst mal danke für deine Antworten.



Die punktweise Konvergenz (f.ü.) \(f_n\to f\) ist nicht die Konvergenz bezüglich einer Norm. Allerdings gilt für alle \(x\) außerhalb einer Nullmenge \(f_n(x)\to f(x)\) und diese Konvergenz ist jeweils bezüglich des Betrages auf \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C}\) gemeint, sofern Du reellwertige/komplexwertige Funktionen betrachtest.
Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm. Eine Folge von Funktionen kann schließlich bzgl einer Norm konvergieren und bzgl einer anderen nicht. Und der Betrag ist ja letztendlich auch einfach nur eine Norm.

Ist also der Unterschied, dass die beiden Konvergenzarten bzgl unterschiedlicher Normen definiert sind?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19


2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm.
Hi Gast123,
nein, die Konvergenz fast überall ist nicht bezüglich einer Norm.
Bei der Konvergenz im p-ten Mittel und der Konvergenz fast überall handelt es sich um grundsätzlich verschiedene Konvergenzbegriffe.
Gruß Buri



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-19


2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm.

Nein, das stimmt nicht. Es gibt keine Norm \(\|\cdot\|\), sodass \(f_n\to f\) punktweise genau dann, wenn \(\|f_n-f\|\to0\).

Man betrachtet Konvergenz allgemeiner bezüglich Topologien, die nicht unbedingt durch eine Norm induziert seien müssen. Die punktweise Konvergenz lässt sich mittels der Produkttopologie beschreiben, siehe
en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence#Topology

Die punktweise Konvergenz f.ü. lässt sich aber nicht einmal mehr durch eine Topologie beschreiben, siehe
en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence#Almost_everywhere_convergence
In diesem Fall legt man einfach fest, was es denn bedeuten soll, dass \(f_n\to f\) punktweise f.ü. gilt. Das geht auch ohne Verwendung irgendeiner Topologie.


2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Und der Betrag ist ja letztendlich auch einfach nur eine Norm.

Ja das stimmt, die Konvergenz \(f_n(x)\to f(x)\) bedeutet \(|f_n(x)-f(x)|\to0\) für jedes \(x\) (bei reell-/komplexwertigen Funktionen). Das heißt aber nur, dass Du für jedes fest gewählte \(x\) die Konvergenz von \((f_n(x))\) gegen \(f(x)\) durch eine Norm beschreiben kannst. Du kannst wie gesagt nicht die punktweise Konvergenz der gesamten Funktionenfolge \((f_n)\) gegen \(f\) durch eine Norm auf einem Funktionenraum beschreiben.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Hallo ihr zwei,

danke für eure Antworten.
Aber punktweise Konvergenz ist doch auch über das Epsilon-Delta Kriterium festgelegt:
$\forall x \in D \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: || f_n(x) - f(x)|| < \varepsilon$.

D.h. ich benötige doch immer eine Norm um den Abstand zwischen Grenzwert und der Folge messen zu können, anders kann man Konvergenz doch gar nicht ausdrücken.



Hi Gast123,
nein, die Konvergenz fast überall ist nicht bezüglich einer Norm.
Bei der Konvergenz im p-ten Mittel und der Konvergenz fast überall handelt es sich um grundsätzlich verschiedene Konvergenzbegriffe.
Gruß Buri

Es würde mir sehr helfen, wenn du genau diese grundsätzlichen Unterschiede vielleicht etwas genauer erklären könntest, weil es gerade das ist was ich nicht verstehe.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-19


2021-01-19 17:00 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
... wenn du genau diese grundsätzlichen Unterschiede vielleicht etwas genauer erklären könntest, ...
Hi Gast123,
da gibt es nichts genauer zu erklären.
Mit der Feststellung, dass die Begriffe "Konvergenz im p-ten Mittel" und "Konvergenz fast überall" nicht übereinstimmen, ist schon alles gesagt.
Ergänzt wird diese Feststellung durch die Bemerkung, dass es zu einer im p-ten Mittel konvergenten Folge eine fast überall konvergente Teilfolge gibt.
Gruß Buri



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20


Aber in welcher Hinsicht unterscheiden sie sich denn?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-20


Da musst Du schon etwas genauer sagen, was Du genau wissen willst. Es sind erstmal zwei verschiedene Begriffe.

Ich hatte Dir in meinem ersten Beitrag schon einen Link geschickt, wo das eigentlich alles dargestellt wird, inklusive Beispiele:
de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_im_p-ten_Mittel#Punktweise_Konvergenz_%CE%BC-fast_%C3%BCberall
Weder folgt aus der punktweisen Konvergenz f.ü. die Konvergenz im \(p\)-ten Mittel noch umgekehrt. Es gibt aber für eine im \(p\)-ten Mittel konvergente Folge eine f.ü. punktweise konvergente Teilfolge. Außerdem folgt aus der punktweisen Konvergenz f.ü. zusammen mit der Existenz einer Majorante die Konvergenz im \(p\)-ten Mittel.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Hmm, ja vielleicht würde es mir schon helfen, wenn du die beiden Epsilon Definitionen hinschreiben könntest. Denn ich habe die Epsilon Definition für punktweise Konvergnz fast überall nirgends gefunden. Daher kommt ja auch meine Verwirrung: Ich frage mich, in welcher Norm man das dann hinschreiben würde



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-21


Also ich habe Dir das eigentlich alles schon beantwortet...

Sagen wir mal dass unsere Funktionen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) abbilden.

Dann konvergiert \((f_n)\) im \(p\)-ten Mittel gegen \(f\), falls es für alle \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt mit \(\|f_n-f\|_p<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\).

Die Punktweise Konvergenz f.ü. lässt sich wie gesagt nicht durch eine Norm beschreiben... Es gibt KEINE Norm \(\|\cdot\|\), sodass \((f_n)\) punktweise f.ü. gegen \(f\) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt mit \(\|f_n-f\|<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\).

Lediglich für jedes feste \(x\in\mathbb{R}\) können wir in diesem Fall die Konvergenz von \((f_n(x))\) gegen \(f(x)\) durch eine Norm beschreiben, nämlich den Betrag auf \(\mathbb{R}\). \((f_n)\) konvergiert punktweise f.ü. gegen \(f\) falls es eine Nullmenge \(A\subseteq\mathbb{R}\) gibt, sodass es für alle \(x\in \mathbb{R}\setminus A\) und alle \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt mit \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\). (\(n_0\) hängt hier von \(x\) ab)



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-22


Zu folgendem nochmal ein Kommentar:

2021-01-19 17:00 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
D.h. ich benötige doch immer eine Norm um den Abstand zwischen Grenzwert und der Folge messen zu können, anders kann man Konvergenz doch gar nicht ausdrücken.

Das stimmt nicht, man kann auch viel allgemeinere Formen von Konvergenz betrachten, was ich eigentlich in meinem zweiten Beitrag auch schon geschrieben hatte. Allgemeiner betrachtet man z.B. metrische Räume und noch allgemeiner topologische Räume.
de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Grenzwert_einer_Folge_von_Elementen_eines_metrischen_Raumes
de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Grenzwert_einer_Folge_von_Elementen_eines_topologischen_Raumes
Die punktweise Konvergenz f.ü. lässt sich aber wie gesagt nicht einmal durch eine Topologie beschreiben. Das ist aber auch nicht weiter schlimm. Was punktweise Konvergenz f.ü. bedeuten soll, kann man ja trotzdem einfach hinschreiben...

Wenn Dich solche Fragestellungen interessieren, würde ich Dir raten, Dich einmal näher mit Funktionalanalysis zu beschäftigen.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Hallo,

das macht es in der Tat etwas klarer. Man könnte also sagen, dass bei Konvergenz im p-ten Mittel man die Norm global anwedent (anwenden kann) auf die ganzen Funktionen, während man bei punktweiser Konvergenz f.ü. die Norm nur "lokal" anwenden kann, also immer für je ein bestimmtes x. Könnte man das so grob sagen?

Und wie wäre es dann mit gleichmäßiger Konvergenz fast überall? Da wendet man die Norm dann ja global auf die ganze Funktion an, also auf alle x oder?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2021-01-22 07:55 - Gast123 in Beitrag No. 12 schreibt:
 während man bei punktweiser Konvergenz f.ü. die Norm nur "lokal" anwenden kann, also immer für je ein bestimmtes x. Könnte man das so grob sagen?

Das kann man nicht so sagen. Die Norm ist hier eine Abbildung von einem Funktionenraum in die reellen Zahlen. Bei einem bestimmten \( x\) ist die Norm von \( f(x) \) einfach der Betrag, also ein Abbildung von \( \IC\) nach \( \IR\).

2021-01-22 07:55 - Gast123 in Beitrag No. 12 schreibt: Und wie wäre es dann mit gleichmäßiger Konvergenz fast überall? Da wendet man die Norm dann ja global auf die ganze Funktion an, also auf alle x oder?

Der Begriff "gleichmäßige Konvergenz fast überall" ist nicht besonders sinnvoll. Überlege dir das selbst, wenn du eine auf \( [0,1]\cup \{2\}\)  definierte Funktionenfolge betrachtest.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Hi Wally,
danke für die Antwort


Das kann man nicht so sagen. Die Norm ist hier eine Abbildung von einem Funktionenraum in die reellen Zahlen. Bei einem bestimmten \( x\) ist die Norm von \( f(x) \) einfach der Betrag, also ein Abbildung von \( \IC\) nach \( \IR\).

Heisst das also, dass der Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz f.ü. und Konvergenz im p-ten Mittel der ist, dass die Normen, die man verwenden auf unterschiedlichen Räumen definiert sind?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-22


sonnenschein96 hat es echt oft genug geschrieben.

Du solltest dir jedesmal, wenn du das Wort "Norm" im Zusammenhang mit punktweiser Konvergenz verwendest, den Mund mit Seife auswaschen.

Viele Grüße

Wally



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-01-22


2021-01-22 10:11 - Gast123 in Beitrag No. 14 schreibt:
Heisst das also, dass der Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz f.ü. und Konvergenz im p-ten Mittel der ist, ...
Hi Gast123,
nein, das heißt es nicht.
Gruß Buri



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Alles klar, vielen Dank für die Antworten, auch wenn ich jetzt nicht klüger bin als zuvor und immer noch nicht weiß was denn jetzt der Unterschied ist.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Bei der Konvergenz im \( p\)-ten Mittel hat man eine Norm, bei punktweiser nicht.

(Auch wenn du noch so sehr darauf bestehst, das da irgendwo eine Norm sein muss.)

Was ist daran noch unklar?

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Hallo,

ich meine das wirklich nicht provokant, sondern möchte es nur verstehen: In der punktweisen Konvergenz hat man doch auch den Betrag drin im Epsilon Kriterium, was ja eine Norm ist.
Und auch in metrischen Räumen benötigt man dann eben eine Metrik.

Aber man muss ja immer ein Funktion haben, die den Abstand zwischen zwei Punkten misst, sprich eine Norm oder Metrik. Daher benötigt man ja auch für punktweise Konvergenz immer eine Norm oder Metrik um das zu beschreiben.



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2021-01-22 12:09 - Gast123 in Beitrag No. 19 schreibt:
Daher benötigt man ja auch für punktweise Konvergenz immer eine Norm oder Metrik um das zu beschreiben.

Nein auch das nicht. Hat man Abbildungen \(f_n,f\colon \Omega\to X\) mit einem Maßraum \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\), so bedeutet \(f_n\to f\) punkweise f.ü., dass es ein \(A\in\mathcal{A}\) mit \(\mu(A)=0\) gibt, sodass \(f_n(x)\to f(x)\) für alle \(x\in \Omega\setminus A\). Dafür benötigst Du nur einen Konvergenzbegriff auf \(X\), damit die Aussage \(f_n(x)\to f(x)\) einen Sinn ergibt.

Dieser kann z.B. die Konvergenz bzgl. einer Topologie \(\mathcal{T}\) auf \(X\) sein. In diesem Fall bedeutet \(f_n\to f\) punktweise f.ü., dass es ein \(A\in\mathcal{A}\) mit \(\mu(A)=0\) gibt, sodass es zu jedem \(x\in\Omega\setminus A\) und jedem \(O\in\mathcal{T}\) mit \(f(x)\in O\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt, sodass \(f_n(x)\in O\) für alle \(n\geq n_0\).

Hier betrachten wir natürlich keine \(L^p\)-Räume mehr. Ist \(X\) ein topologischer Raum, welcher nicht Hausdorffsch ist, so ist übrigens der Grenzwert im Allgemeinen auch nicht einmal mehr f.ü. eindeutig bestimmt. Im Extremfall der indiskreten Topologie auf \(X\) gilt \(f_n\to f\) punktweise für alle Funktionen \(f_n,f\).



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Gast123
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Okay vielen Dank nochmal für die Geduld und die Erklärungen!



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