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Lineare Algebra » Vektorräume » Beweis zu Faktorräumen, Vektorräumen, Erzeugnis
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Universität/Hochschule Beweis zu Faktorräumen, Vektorräumen, Erzeugnis
Prinzessinaladina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-16


Liebe Mitglieder,
Ich habe folgende Aufgabe als Übung zu lösen.

Seien v1,...,vn Elemente des K-Vektorraums V und U ein Untervektorraum von V
mit U ⊆⟨v1,...,vn⟩ und V/U =⟨v1 +U,...,vn +U⟩
Beweise  V = ⟨v1,...,vn⟩.

Ich habe die Erzeugnisse jeweils als endliche Linearkombinationen der Elemente der jeweiligen Mengen entwickelt, aber ich habe überhaupt keine Idee, wie ich dies verwenden und an den Beweis herangehen könnte. Ich zerbreche mir seit gestern den Kopf und komme nicht weiter. Bitte dringend um Unterstützung.
Danke, Prinzessinaladina



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16


Mein Tip: Zeige zuerst, dass aus der 2. Voraussetzung $V= U+\langle v_{1},\ldots, v_{n}\rangle$ folgt. Aus der 1. Voraussetzung folgt dann die Behauptung.



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Prinzessinaladina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Danke hippias.
Du meinst, dass aus der zweiten Voraussetzung V/U = U + ⟨v1,…,vn⟩ folgt? Gut, das habe ich hergeleitet.
Ich sehe den Wald vor Bäumen nicht: Wie nutze ich jetzt U ⊆ ⟨v1,...,vn⟩ um auf die Behauptung zu kommen?
LG
Prinzessinaladina



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-16


Hallo Prinzessinaladina,

willkommen übrigens auf dem Matheplaneten!

2021-01-16 16:45 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 2 schreibt:
Du meinst, dass aus der zweiten Voraussetzung V/U = U + ⟨v1,…,vn⟩ folgt?

Nein, nicht V/U sondern V. (V/U ergäbe hier auch keinen Sinn, da U + ⟨v1,…,vn⟩ eine Menge von Elementen und V ist.)

Du musst ja zeigen, dass sich jedes Element aus V als Linearkombination von v1,...,vn schreiben lässt. Aus der ersten Voraussetzung folgt, dass sich jedes Element aus U als Linearkombination von v1,...,vn schreiben lässt.



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Prinzessinaladina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Danke für das Willkommen. Ach, di meinst mir "2.Voraussetzung"
U ⊆⟨v1,...,vn⟩? und nicht V/U= ...?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-16


2021-01-16 16:56 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 4 schreibt:
Danke für das Willkommen. Ach, di meinst mir "2.Voraussetzung"
U ⊆⟨v1,...,vn⟩? und nicht V/U= ...?

Ja, ich hatte es bereits in "erste Behauptung" verbessert.



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Prinzessinaladina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Danke. Auf V=U+⟨v1,…,vn⟩ komme ich also, weil U Teilmenge von ⟨v1,…,vn⟩ ist, d. h. Teilmenge von a1v1+ ...+anvn. Und weil v1,...,vn Elemente von V sind, folgt dass V aus U und allen anderen Elementen des Erzeugnisses besteht, also
V=U+⟨v1,…,vn⟩.
Wie aber nutze ich jetzt V/U =⟨v1 +U,...,vn +U⟩? Hier kann ich ja auch die Linearkombination bilden, um alle Elemente des Faktorraumes zu erhalten. Ich komme zu V/U = a1(v1+U)+...+an(vn+U)und über V/U = ((a1v1)+U)+...+((anvn)+U) ebenso zu ((a1v1)+...+(anvn))+U und damit ist U/V ebenso = ⟨v1,…,vn⟩ + U. Ist das richtig? Wie aber sehe ich nun, dass V=⟨v1,…,vn⟩?



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-16


2021-01-16 17:15 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 6 schreibt:
Danke. Auf V=U+⟨v1,…,vn⟩ komme ich also, weil U Teilmenge von ⟨v1,…,vn⟩ ist
Nein, der Schluss ist falsch.
, d. h. Teilmenge von a1v1+ ...+anvn. Und weil v1,...,vn Elemente von V sind, folgt dass V aus U und allen anderen Elementen des Erzeugnisses besteht, also
V=U+⟨v1,…,vn⟩.
Wie aber nutze ich jetzt V/U =⟨v1 +U,...,vn +U⟩? Hier kann ich ja auch die Linearkombination bilden, um alle Elemente des Faktorraumes zu erhalten. Ich komme zu V/U = a1(v1+U)+...+an(vn+U)und über V/U = ((a1v1)+U)+...+((anvn)+U) ebenso zu ((a1v1)+...+(anvn))+U und damit ist U/V ebenso = ⟨v1,…,vn⟩ + U. Ist das richtig? Wie aber sehe ich nun, dass V=⟨v1,…,vn⟩?
Deine Überlegungen zu $V/U$ lassen sich schon eher zu einem Beweis von $V= U+\langle v1,…,vn\rangle$ ausbauen. Formuliere die Überlegungen doch einmal "ordentlicher". Du willst eine Mengengleichheit zeigen, d.h. es sind 2 Inklusionen zu beweisen...



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Prinzessinaladina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Danke, in dieser Reihenfolge habe ich es gemacht und beide Inklusionen bewiesen, womit die Mengengleichheit nachgewiesen ist.
Vielen Dank für die Anregungen und beste Grüße
Prinzessinaladina



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