Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Teilkörper Beweis
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Teilkörper Beweis
Banana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-17


Hallo an alle, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung:

fed-Code einblenden

Ich würde mich über Hinweise oder vielleicht auch andere Lösungswege freuen :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5453
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17


Du hast auf jeden Fall schon die richtigen Ideen. So kann man es genauer gesagt machen: Das Lemma habt ihr sicherlich in der einen oder anderen Form behandelt bzw. ergibt sich auch ohne viel Aufwand aus dem von dir genannten Satz.

Lemma. Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, $a \in L$ algebraisch über $K$ vom Grad $n$. Dann gilt:
1. $K[a]$ ist ein Körper. Es gilt also $K[a] = K(a)$.
2. Es gilt $[K(a):K] = n$.
3. Genauer gesagt ist $\{a^i : 0 \leq i < n\}$ eine $K$-Basis von $K(a)$. Es gilt also
 
$K(a) = \{u_0 + u_1 a + \cdots + u_{n-1} a^{n-1} : u_0,\dotsc,u_{n-1} \in K\}.$

Anwendung. Wir wenden das auf die Körpererweiterung $\IR / \IQ$ und das Element $a : = \sqrt[3]{3}$ an. Nach dem Eisenstein-Kriterium ist $P := T^3 - 3 $ irreduzibel über $\IQ$. Und offensichtlich ist $ P(a) = 0$. Also ist $P$ das Minimalpolynom vom $a$ über $\IQ$. Daher ist der Grad von $a$ über $\IQ$ gleich $3$. Das Lemma liefert daher, dass $\IQ[a]= \IQ(a)$ eine Körpererweiterung vom Grad $3$ über $\IQ$ ist mit der $\IQ$-Basis $\{1,a,a^2\}$. Es gilt also
 
$\IQ(a) = \{u + v a + w a^2 : u,v,w \in \IQ\}.$

Weil die linke Seite aus allgemeinen / trivialen Gründen ein Teilkörper von $\IR$ ist, ist es auch die rechte Seite.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Banana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Danke dir erstmal für deine ausführliche Antwort. Leider hatten wir dieses Lemma nicht besprochen.

Ich scheitere nur grad etwas am Beweis. Wahrscheinlich hänge ich mich zu sehr an meinem Satz auf. Die Aussagen 2 und 3 kriege ich hin, nur scheitert es grad am ersten Teil der Aussage.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5453
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17


$K[a]$ ist ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und nullteilerfrei, also ein Körper.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Banana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Sorry, aber irgendwie hängt es beim Verständnis. Ich schmeiße einfach zu viel durcheinander. Wieso gilt K[a]=K(a) ?

Ich weiß, dass K[a] isomorph ist zum Faktorring K[x]/J ist, aber ich stehe etwas auf dem Schlauch, warum dann die Gleichheit zwischen K[a] und K(a) gelten soll. Würde mich über ne kurze Erklärung freuen :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5453
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-18


Du zeigst, dass $K[a]$ ein Körper ist (entweder mit dem Argument aus meinem vorigen Beitrag, oder mit der Isomorphie zu $K[T]/\langle P \rangle$ und dem Fakt, dass $\langle P \rangle$ ein maximales Ideal ist).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Banana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Okay, das würde ich hinbekommen. Aber mir fehlt etwas das Verständnis und ich forste mich durch sämtliche Literatur und finde keine Erklärung, warum die Gleichheit gilt. Vielleicht verstehe ich da auch was falsch:

fed-Code einblenden

Der Rest des Beweises ist vollkommen klar, nur nicht dieser kleine Teil, auch wenn er vielleicht total simpel ist



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5453
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-18


2021-01-18 10:37 - Banana in Beitrag No. 6 schreibt:
und ich forste mich durch sämtliche Literatur und finde keine Erklärung, warum die Gleichheit gilt.

Dass $K[a] = K(a)$ für algebraische Elemente $a$ gilt, wird in jedem Buch zur Algebra erklärt. Bitte suche dir ein Buch zur Algebra heraus und schlage es nach. Davon abgesehen habe ich ja bereits die zwei möglichen Beweise angedeutet.

Der Rest deines Posts zeigt auf, dass dir die Definitionen von $K(a)$ und $K[a]$ nicht bekannt sind (bzw. du falsche Definitionen verwendest). Auch diese findest du in jedem Buch zur Algebra.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Banana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Jap, deswegen fehlt mir ja das Verständnis. Wir haben leider in der Vorlesung K(a) nur sehr spartanisch definiert, nämlich als einfache Körpererweiterung. Mir fehlt daher der Überblick, wie K(a) aussieht. In einigen Büchern wird K(a) auch als Quotientenkörper dargestellt. Aber dahingehend bin ich mir leider einfach zu unsicher

Und in der Literatur, die ich durchforstet habe, wurde leider einfach erwähnt, dass K[a]=K(a) gilt. Dazu habe ich insgesamt 5 Bücher durchgeschaut. Aber wahrscheinlich muss ich einfach nochmal genauer schauen

EDIT: Hab mich nochmal kundig gemacht bezüglich der Definition von K(a). Nun ist mir klar, wieso die Gleichheit gilt.

Dennoch danke dir für die Antworten



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Banana hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]