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Autor |
Teilkörper Beweis |
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Banana
Junior  Dabei seit: 12.01.2021 Mitteilungen: 17
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Hallo an alle, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung:
 
Zeigen Sie, dass K:={x+y*wurzel(3,3)+z*wurzel(3,9) : x,y,z\el\ \IQ} ein Teilkörper von \IR ist. Zuerst habe ich überlegt mithilfe vom Teilringkriterium und Teilgruppenkriterium zu arbeiten, das erschien mir allerdings sehr aufwändig. Daher hab ich in meinen Aufzeichnungen einen sehr hilfreichen Satz gefunden, den ich aber nicht so wirklich anwenden möchte bzw. kann, weil ich mir bezüglich seiner Anwendung unsicher bin. Dazu der folgende Satz: Seien K,L Körper und a\el\ L so, dass L=K(a) ist. Ist a algebraisch über K, so existiert ein endeutig bestimmtes normiertes Polynom P \el\ K[x], das a als Nullstelle hat und mit diesen Eigenschaften kleinstmöglichen Grad hat. Es ist dann P irreduzibel in K[x] und L isomorph zu K[x]//P*K[x] Daher meine Idee: Seien a=wurzel(3,3) und K=\IQ, dann ist a algebraisch über \IQ. Dazu sei P=x^3-3 \el\ \IQ[x], sodass P(a)=0. Da P normiert ist und kleinstmöglichen Grad hat, ist es also das Minimalpolynom und schließlich irreduzibel. Somit ist L=\IQ(a) isomorph zu \IQ[x]//(x^3-3). Nun müsste ich nur noch zeigen, dass \IQ[x]//(x^3-3) ein Körper ist, was an sich kein Problem darstellt. Ich bin nur verunsichert bezüglich der Wortwahl zu Beginn des obigen Satzes. Dort musste a ja ein bestimmtes Element sein und L musste ja nach Voraussetzung auch ein Körper sein. Kann ich diesen Satz trotzdem anwenden ? So wirklich kommt ja L nicht zum Tragen oder ?
Ich würde mich über Hinweise oder vielleicht auch andere Lösungswege freuen :)
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Triceratops
Aktiv  Dabei seit: 28.04.2016 Mitteilungen: 5453
Herkunft: Berlin
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17
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Du hast auf jeden Fall schon die richtigen Ideen. So kann man es genauer gesagt machen: Das Lemma habt ihr sicherlich in der einen oder anderen Form behandelt bzw. ergibt sich auch ohne viel Aufwand aus dem von dir genannten Satz.
Lemma. Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, $a \in L$ algebraisch über $K$ vom Grad $n$. Dann gilt:
1. $K[a]$ ist ein Körper. Es gilt also $K[a] = K(a)$.
2. Es gilt $[K(a):K] = n$.
3. Genauer gesagt ist $\{a^i : 0 \leq i < n\}$ eine $K$-Basis von $K(a)$. Es gilt also
$K(a) = \{u_0 + u_1 a + \cdots + u_{n-1} a^{n-1} : u_0,\dotsc,u_{n-1} \in K\}.$
Anwendung. Wir wenden das auf die Körpererweiterung $\IR / \IQ$ und das Element $a : = \sqrt[3]{3}$ an. Nach dem Eisenstein-Kriterium ist $P := T^3 - 3 $ irreduzibel über $\IQ$. Und offensichtlich ist $ P(a) = 0$. Also ist $P$ das Minimalpolynom vom $a$ über $\IQ$. Daher ist der Grad von $a$ über $\IQ$ gleich $3$. Das Lemma liefert daher, dass $\IQ[a]= \IQ(a)$ eine Körpererweiterung vom Grad $3$ über $\IQ$ ist mit der $\IQ$-Basis $\{1,a,a^2\}$. Es gilt also
$\IQ(a) = \{u + v a + w a^2 : u,v,w \in \IQ\}.$
Weil die linke Seite aus allgemeinen / trivialen Gründen ein Teilkörper von $\IR$ ist, ist es auch die rechte Seite.
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Banana
Junior  Dabei seit: 12.01.2021 Mitteilungen: 17
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Danke dir erstmal für deine ausführliche Antwort. Leider hatten wir dieses Lemma nicht besprochen.
Ich scheitere nur grad etwas am Beweis. Wahrscheinlich hänge ich mich zu sehr an meinem Satz auf. Die Aussagen 2 und 3 kriege ich hin, nur scheitert es grad am ersten Teil der Aussage.
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Triceratops
Aktiv  Dabei seit: 28.04.2016 Mitteilungen: 5453
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 |     Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17
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$K[a]$ ist ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und nullteilerfrei, also ein Körper.
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Banana
Junior  Dabei seit: 12.01.2021 Mitteilungen: 17
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Sorry, aber irgendwie hängt es beim Verständnis. Ich schmeiße einfach zu viel durcheinander. Wieso gilt K[a]=K(a) ?
Ich weiß, dass K[a] isomorph ist zum Faktorring K[x]/J ist, aber ich stehe etwas auf dem Schlauch, warum dann die Gleichheit zwischen K[a] und K(a) gelten soll. Würde mich über ne kurze Erklärung freuen :)
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Triceratops
Aktiv  Dabei seit: 28.04.2016 Mitteilungen: 5453
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 |     Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-18
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Du zeigst, dass $K[a]$ ein Körper ist (entweder mit dem Argument aus meinem vorigen Beitrag, oder mit der Isomorphie zu $K[T]/\langle P \rangle$ und dem Fakt, dass $\langle P \rangle$ ein maximales Ideal ist).
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Banana
Junior  Dabei seit: 12.01.2021 Mitteilungen: 17
 |     Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Okay, das würde ich hinbekommen. Aber mir fehlt etwas das Verständnis und ich forste mich durch sämtliche Literatur und finde keine Erklärung, warum die Gleichheit gilt. Vielleicht verstehe ich da auch was falsch:
 
Nach meinem Verständnis ist (bezogen auf meine Aufgabe) ja \IQ(wurzel(3,3))={x+y*wurzel(3,3)+z*wurzel(3,9) : x,y,z \el\ \IQ}. Wenn ich auf \IQ[x] den Einsetzungshomomorphismus habe, dann habe ich doch aber eine Menge \IQ[(wurzel(3,3))]={ sum(a_k *wurzel(3,3)^k,k=0,n) : a_1,...a_n \el\ \IQ}, d.h. ich kann ja im Moment nicht voraussetzen, dass dann die Polynome aus \IQ[(wurzel(3,3))] immer nur Grad 2 haben so wie in \IQ(a). Mir ist auch klar, dass \IQ(a) \subsetequal\ \IQ[a] ist, nur die Rückrichtung haut in meinem Kopf nicht hin. Klar, wenn man wurzel(3,3) weiter potenziert, dann kommt ja meist immer eine Linearkombination dessen raus, aber wie kann man das zeigen ?
Der Rest des Beweises ist vollkommen klar, nur nicht dieser kleine Teil, auch wenn er vielleicht total simpel ist
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Triceratops
Aktiv  Dabei seit: 28.04.2016 Mitteilungen: 5453
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 |     Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-18
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2021-01-18 10:37 - Banana in Beitrag No. 6 schreibt:
und ich forste mich durch sämtliche Literatur und finde keine Erklärung, warum die Gleichheit gilt.
Dass $K[a] = K(a)$ für algebraische Elemente $a$ gilt, wird in jedem Buch zur Algebra erklärt. Bitte suche dir ein Buch zur Algebra heraus und schlage es nach. Davon abgesehen habe ich ja bereits die zwei möglichen Beweise angedeutet.
Der Rest deines Posts zeigt auf, dass dir die Definitionen von $K(a)$ und $K[a]$ nicht bekannt sind (bzw. du falsche Definitionen verwendest). Auch diese findest du in jedem Buch zur Algebra.
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Banana
Junior  Dabei seit: 12.01.2021 Mitteilungen: 17
 |     Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Jap, deswegen fehlt mir ja das Verständnis. Wir haben leider in der Vorlesung K(a) nur sehr spartanisch definiert, nämlich als einfache Körpererweiterung. Mir fehlt daher der Überblick, wie K(a) aussieht. In einigen Büchern wird K(a) auch als Quotientenkörper dargestellt. Aber dahingehend bin ich mir leider einfach zu unsicher
Und in der Literatur, die ich durchforstet habe, wurde leider einfach erwähnt, dass K[a]=K(a) gilt. Dazu habe ich insgesamt 5 Bücher durchgeschaut. Aber wahrscheinlich muss ich einfach nochmal genauer schauen
EDIT: Hab mich nochmal kundig gemacht bezüglich der Definition von K(a). Nun ist mir klar, wieso die Gleichheit gilt.
Dennoch danke dir für die Antworten
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