Zeigen Sie, dass K:={x+y*wurzel(3,3)+z*wurzel(3,9) : x,y,z\el\ \IQ} ein Teilkörper von \IR ist.

Zuerst habe ich überlegt mithilfe vom Teilringkriterium und Teilgruppenkriterium zu arbeiten, das erschien mir allerdings sehr aufwändig. Daher hab ich in meinen Aufzeichnungen einen sehr hilfreichen Satz gefunden, den ich aber nicht so wirklich anwenden möchte bzw. kann, weil ich mir bezüglich seiner Anwendung unsicher bin. Dazu der folgende Satz:

Seien K,L Körper und a\el\ L so, dass L=K(a) ist. Ist a algebraisch über K, so existiert ein endeutig bestimmtes normiertes Polynom P \el\ K[x], das a als Nullstelle hat und mit diesen Eigenschaften kleinstmöglichen Grad hat. Es ist dann P irreduzibel in K[x] und L isomorph zu K[x]//P*K[x]

Daher meine Idee:
Seien a=wurzel(3,3) und K=\IQ, dann ist a algebraisch über \IQ. Dazu sei P=x^3-3 \el\ \IQ[x], sodass P(a)=0. Da P normiert ist und kleinstmöglichen Grad hat, ist es also das Minimalpolynom und schließlich irreduzibel. Somit ist L=\IQ(a) isomorph zu \IQ[x]//(x^3-3). Nun müsste ich nur noch zeigen, dass \IQ[x]//(x^3-3) ein Körper ist, was an sich kein Problem darstellt. 

Ich bin nur verunsichert bezüglich der Wortwahl zu Beginn des obigen Satzes. Dort musste a ja ein bestimmtes Element sein und L musste ja nach Voraussetzung auch ein Körper sein. Kann ich diesen Satz trotzdem anwenden ? So wirklich kommt ja L nicht zum Tragen oder ?

Nach meinem Verständnis ist (bezogen auf meine Aufgabe) ja \IQ(wurzel(3,3))={x+y*wurzel(3,3)+z*wurzel(3,9) : x,y,z \el\ \IQ}. Wenn ich auf \IQ[x] den Einsetzungshomomorphismus habe, dann habe ich doch aber eine Menge \IQ[(wurzel(3,3))]={ sum(a_k *wurzel(3,3)^k,k=0,n) : a_1,...a_n \el\ \IQ}, d.h. ich kann ja im Moment nicht voraussetzen, dass dann die Polynome aus \IQ[(wurzel(3,3))] immer nur Grad 2 haben so wie in \IQ(a). 

Mir ist auch klar, dass \IQ(a) \subsetequal\ \IQ[a] ist, nur die Rückrichtung haut in meinem Kopf nicht hin. Klar, wenn man wurzel(3,3) weiter potenziert, dann kommt ja meist immer eine Linearkombination dessen raus, aber wie kann man das zeigen ?