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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » orthogonale und lineare Abbildungen
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Universität/Hochschule orthogonale und lineare Abbildungen
Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-17


Hallo,

ich verstehe nicht, wie die folgende Aufgabe geht:

Sei eine lineare Abbildung \(B:\IR^k \to \IR^n\), so gibt es eine orthogonale lineare Abbildung \(A:\IR^n \to \IR^n\), sodass \((A\circ B)(\IR^k) \subseteq \IR^k \times \{\boldsymbol{0}\}\) gilt.

Ich habe mir schon Gedanken dazu gemacht, dass A bijektiv sein müsste, da es orthogonal ist und von \(\IR^n->\IR^n\) abbildet. Aber da ich nicht weiß, was B ist, weiß ich nicht, wie ich damit arbeiten kann.

(Ich kann ja nicht einfach für A die Identitätsabbildung nehmen und sagen, dass \(\IR^n \subseteq \IR^k \times {0}\) gilt, aber verstehe auch nicht, wie eine passende Abbildung finden kann)

Kann mir hier jemand Ansätze dafür geben?

Vielen Dank im Vorfeld

LG
Majazakava



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17


Hallo Majazakava,

da das Bild von \(B\) höchstens \(k\)-dimensional ist, kannst Du eine ONB \(b_1,\ldots,b_l\) des Bildes wählen (mit \(l\leq k\)) und \(Ab_j:=e_j\) für \(j=1,\ldots,l\)  setzen und dann eindeutig linear fortsetzen. Damit hast Du schonmal eine lineare Abbildung \(A\colon\operatorname{Im}(B)\to\mathbb{R^k}\times\{0\}\) definiert, die Du nun zu einer orthogonalen Abbildung \(A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R^n}\) fortsetzen kannst.



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Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Hi,

kannst Du das nochmal erklären? Ich blick da leider nicht durch.

Ignoriere ich dann \(Ab_i\) mit \(i=l,...,k\), oder spielen die doch eine Rolle?

Wenn ich nur die \(Ab_j:=e_j\) anschaue, hätte ich ja \(l\) Einheitsvektoren mit jeweils \(n\) Einträgen, oder? Das hätte dann die Dimension \(\IR^l \times \{\boldsymbol{0}\}\) und da \(l\le k\) ist und der Nullvektor sich an \(l\) anpassen kann, ist die erste Bedingung gelöst, oder?

Wie ich zeigen soll, dass A orthogonal ist, verstehe ich immer noch nicht.
Kannst Du hier nochmal helfen?

Vielen Dank im Vorfeld.

LG
Majazakava



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-18


2021-01-18 13:34 - Majazakava in Beitrag No. 2 schreibt:
Ignoriere ich dann \(Ab_i\) mit \(i=l,...,k\), oder spielen die doch eine Rolle?

Bis jetzt sind ja erst \(b_1,\ldots,b_l\) gewählt worden. \(b_{l+1},\ldots,b_k\) gibt es bis jetzt in unserer Betrachtung noch nicht, daher ist Deine Frage etwas komisch^^ Um \(A\) auf ganz \(\mathbb{R}^n\) definieren zu können, liegt es aber nahe, \(\{b_1,\ldots,b_l\}\) durch gewisse Vektoren \(b_{l+1},\ldots,b_n\) zu einer Basis des \(\mathbb{R}^n\) zu ergänzen und festzulegen, was \(Ab_{l+1},\ldots,Ab_n\) sein soll.


2021-01-18 13:34 - Majazakava in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie ich zeigen soll, dass A orthogonal ist, verstehe ich immer noch nicht.

Wenn Du es schaffst alles so zu wählen, dass \(\{b_1,\ldots,b_n\}\) und \(\{Ab_1,\ldots,Ab_n\}\) ONB's des \(\mathbb{R}^n\) sind, kannst Du Dir leicht überlegen, dass \(A\) orthogonal ist.



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