Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Orthogonales Komplement
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Orthogonales Komplement
Gengar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 46
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-18


Hallo liebes Matheforum,

eine Frage bezgl. des orthogonalen Komplements.


Sei \(\text{U}\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}^n\) ein Untervektorraum.

Gibt es stets ein orthogonales Komplement \(\text{U}^\perp\)? Wenn ja, ist diese eindeutig bestimmt?




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
th57
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 42
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18


Hi Gengar,

Das kommt darauf an, bezüglich was du das orthogonale Komplement bestimmen willst, da du jedoch nichts dazu schreibst nehme ich, du meinst bezüglich dem/einen Skalarprodukt, dann schau doch hier nach:
de.wikipedia.org/wiki/Komplement%C3%A4rraum#Komplement_eines_Untervektorraums

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gengar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 46
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


So wie ich das verstanden habe, sind Komplementärraum und orthogonales Komplement also zwei Paar Schuhe.

Den Orthogonalraum zu einem Unterraum U von R^n gibt es immer, der dann die Dimension dim(n)-dim(U) hat, ist das richtig?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gengar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 46
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Und ich meinte bzgl dem Standardskalarprodukt. Das würde mich übrigens auch mal interessieren, sieht der Orthogonalraum von U bzgl eines anderen Skalarproduktes anders aus?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5461
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-19


Ja, es gibt immer ein orthogonales Komplement, weil man es einfach hinschreiben kann (Unterraum aller Vektoren, die orthogonal zu dem Unterraum sind). Und bei endlich-dimensionalen Räumen mit einem Skalarprodukt ist es auch immer ein Komplement im Sinne der linearen Algebra (bei unendlich-dimensionalen Räumen sieht es anders aus). Deine Aussage zur Dimension ist auch richtig. Dass das orthogonale Komplement von der Wahl des Skalarproduktes abhängig ist, kannst du dir anhand von Beispielen klarmachen: Jede symmetrische positiv-definite Matrix $A \in M_n(\IR)$ induziert ein Skalarprodukt

$\langle x,y \rangle_A := x^T A y$

auf $\IR^n$. Ein konkretes Beispiel für eine solche Matrix ist

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(die Eigenwerte sind $1,3$), hier ist das Skalarprodukt auf $\IR^2$ also

$\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2) \rangle_A = 2 x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + x_1 y_2 + x_2 y_1.$

Hier gilt $\langle (1,0),(1,-2) \rangle_A = 0$, was beim Standardskalarprodukt nicht gilt. Das orthogonale Komplement von $\mathrm{span}((1,0))$ ist bezüglich $\langle - , - \rangle_A$ gleich $\mathrm{span}((1,-2))$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gengar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]