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  Zeige, dass -X+(g) eine Einheit ist. |
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Bruce94
Aktiv 
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 836
Herkunft: Stuttgart
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Hallo,
es sei $K=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $c \in K$ und $g= X^2+X+1 \in K[X]$. Außerdem sei $(g)$ das von $g$ erzeugte Huaptideal und $R=K[X]/(g)$.
Frage: Ist $R$ ein Integritätsring? Zeigen Sie, dass $-X+(g) \in R$ eine Einheit in $R$ ist.
Idee:
$g$ ist nicht irreduzibel, da $g=(x+2) \cdot (x+2)$, und somit kein Primelement. Daraus kann ich folgern, da $K[X]$ ein Integritätsring ist, dass ist $R$ kein Integritätsring ist.
Bei der Aufgabe mit der Einheit hänge ich. Wenn $g$ irreduzibel wäre, könnte ich sagen, dass $R$ ein Körper ist. Somit wäre $-X+(g)$ eine Einheit. Leider ist $g$ nicht irreduzibel.
An dieser Stelle mal die Frage, ob ich $R$ richtig verstehe. Es gilt $ R=( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/(g)= \{f + (g) \ \vert \ f \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]\}= \{aX+b \ \vert \ a,b \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \}$
Letzte Gleichheit folgt, da $g$ Grad $2$ besitzt.
Danke schon mal für eure Antworten.
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3093
Herkunft: der Nähe von Schwerin
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18
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Hallo,
kannst du nicht direkt ein Inverses von $-X+(g)$ angeben?
\[
(-X+(g))\cdot (X+1+(g))=-X^2-X+(g)=\ldots
\]
2021-01-18 18:40 - Bruce94 im Themenstart schreibt:
An dieser Stelle mal die Frage, ob ich $R$ richtig verstehe. Es gilt $ R=( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/(g)= \{f + (g) \ \vert \ f \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]\}= \{aX+b \ \vert \ a,b \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \}$
Letzte Gleichheit folgt, da $g$ Grad $2$ besitzt.
Das stimmt nicht ganz, glaube ich. Aber jedes Element in $k[X]/(g)$ hat einen Repräsentanten von der Form $aX+b$. Aber eigentlich müsstest du schreiben:
\[
\ldots = \{aX+b +(g) \ \vert \ a,b \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \}
\]
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Bruce94
Aktiv
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 836
Herkunft: Stuttgart
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Hallo ochen,
vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir sehr!
Zu dem Inversen:
\[
(-X+(g))\cdot (X+1+(g))=-X^2-X+(g)=\overline{1},
\]
da $\overline{1} \cdot g \in (g)$ und $-X^2-X+X^2+X+\overline{1}=\overline{1}$ gilt.
Zu dem $R$:
Ich kann also auch
\[
R=\{f+(g) \ \vert \ f \in K[X] \}= \{aX+b + (g) \ \vert \ a,b \in K \}
\]
schreiben, da ich durch den Grad von $g$ alle Elemente mit einem Grad größer gleich 2 „abziehen“ kann. D.h.: $\forall \ h \in K[X] \ \exists! a,b \in K: \overline{h}=aX+b$, richtig?
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Triceratops
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Mitteilungen: 5461
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19
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2021-01-18 18:40 - Bruce94 im Themenstart schreibt:
An dieser Stelle mal die Frage, ob ich $R$ richtig verstehe.
Nein. Aber das liegt nicht an dir. Du hängst dich an der mengentheoretischen Konstruktion auf, die in Büchern derzeit immer noch die wichtigste Rolle einnimmt. Was Quotientenringe eigentlich sind, kannst du hier nachlesen:  Konzepte der Ringtheorie (und was Quotientengruppen sind, hier: Konzepte der Gruppentheorie).
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