Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Rekursionsgleichung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Rekursionsgleichung
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2701
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-19


Hat jemand eine Idee, wie man

\[E(n)=\begin{cases}
0 &\text{if  } n=0 \\
1 &\text{if  } n=1 \\
\frac{1}{n}(1+(n-1)\cdot E(n-1) +2\cdot E(n-2)) & \text{otherwise} \\
\end{cases}\]
effizient (für sehr große $n$) berechnen/genau abschätzen könnte?

Dass das ganze asymptotisch zumindest grob gegen $\frac{5}{12}n$ gehen wird, ergibt sich aus dem Kontext und lässt sich für $n<10^7$ auch problemlos nachrechnen.

Zielgrößenordnung ist $n\approx 10^{18}$
Erlaubter Fehler $\Delta < 10^4$


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ThomasRichard
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 424
Herkunft: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-19


Hi,

hilft dir diese explizite Darstellung?
Maple
rsol := rsolve({E(0)=0, E(1)=1, E(n) = 1/n*(1+(n-1)*E(n-1)+2*E(n-2))}, E(n));
                /            
                |1      3    
rsol := (n + 3) |- - --------
                \4   4 exp(2)
 
                                                     n        \   
     3 hypergeom([1, n + 3], [n + 5, n + 2], -2) (-2)  (n + 2)|   
   - ---------------------------------------------------------| + 
                           GAMMA(n + 5)                       /   
 
          /                       
          |   n      1       1    
  (n + 3) |------- - -- + --------
          \3 n + 9   12   4 exp(2)
 
                                                           n\
     (n + 2) hypergeom([1, n + 3], [n + 2, n + 5], -2) (-2) |
   + -------------------------------------------------------|
                          GAMMA(n + 5)                      /
 
 
srsol := simplify(rsol);
      1        /
-------------- \
2 GAMMA(n + 5)  
       n  n                                                       
-4 (-1)  2  (n + 2) (n + 3) hypergeom([1, n + 3], [n + 2, n + 5], 
 
                                              \
  -2) - GAMMA(n + 5) ((n + 3) exp(-2) - n - 1)/
 
latex(srsol);

Formatiert in LaTeX: \[{\frac {-4\, \left( -1 \right) ^{n}{2}^{n} \left( n+2 \right)  \left(
n+3 \right) {\mbox{$_2$F$_2$}(1,n+3;\,n+2,n+5;\,-2)}-\Gamma \left( n+5
 \right)  \left(  \left( n+3 \right) {{\rm e}^{-2}}-n-1 \right) }{2\,
\Gamma \left( n+5 \right) }}\]


-----------------
Thomas Richard
Application Engineering / Technischer Support
Maplesoft Europe GmbH



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2701
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Das könnte schonmal helfen. :)

Ich hatte es schon mit sympy probiert, bin aber entweder an der Bedienung gescheitert oder dessen Solver am Problem.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11446
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19


Geht leider nicht, ich habe eine Klammer übersehen.
Schade

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11446
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-02 12:02


Da mittlerweile keine neuen Gedanken mehr eingetroffen sind, eine mögliche Lösung.
Setzt man a(n):=n*E(n) geht die Rekursion in eine leichter zu handhabende über. Jetzt geht man den üblichen Weg über Potenzreihen und gelangt so zu einer einfach zu lösenden Differentialgleichung. Deren wieder als Potenzreihe dargestellte Lösungsfunktion liefert mit ihren Koeffizienten eine explizite Darstellung der a(n) und damit von E(n).
Falls nicht, wie häufig bei mir, irgendwelche Rechenfehler sich eingemogelt haben, ergibt sich
fed-Code einblenden

Die explizite Darstellung erlaubt eine einfache Berechnung für große n, wenn man die Partialsummen durch die Exponentialfunktion ersetzt und den Rest abchätzt.

Gruß Wauzi

Edit: Natürlich läßt sich obige Darstellung noch vereinfachen, werLust hat, kann es ja tun...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ThomasRichard
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 424
Herkunft: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-02 12:25


Hallo Wauzi,

das sieht gut aus.
Die Summendarstellung lässt sich mit Hilfe der unvollständigen Gammafunktion vereinfachen:
\[-{\frac {{{\rm e}^{-2}} \left( \Gamma \left( n+2,-2 \right) +2\,\Gamma
 \left( n+1,-2 \right)  \right) }{2\,\Gamma \left( n+1 \right) }}+{
\frac {n}{2}}+{\frac{1}{2}}
\] Besser als die hypergeometrische Funktion vorher...


-----------------
Thomas Richard
Application Engineering / Technischer Support
Maplesoft Europe GmbH



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]