Dass das ganze asymptotisch zumindest grob gegen $\frac{5}{12}n$ gehen wird, ergibt sich aus dem Kontext und lässt sich für $n<10^7$ auch problemlos nachrechnen.
Zielgrößenordnung ist $n\approx 10^{18}$
Erlaubter Fehler $\Delta < 10^4$
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Wauzi
Senior Dabei seit: 03.06.2004 Mitteilungen: 11446
Herkunft: Bayern
Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-02 12:02
Da mittlerweile keine neuen Gedanken mehr eingetroffen sind, eine mögliche Lösung.
Setzt man a(n):=n*E(n) geht die Rekursion in eine leichter zu handhabende über. Jetzt geht man den üblichen Weg über Potenzreihen und gelangt so zu einer einfach zu lösenden Differentialgleichung. Deren wieder als Potenzreihe dargestellte Lösungsfunktion liefert mit ihren Koeffizienten eine explizite Darstellung der a(n) und damit von E(n).
Falls nicht, wie häufig bei mir, irgendwelche Rechenfehler sich eingemogelt haben, ergibt sich
Die explizite Darstellung erlaubt eine einfache Berechnung für große n, wenn man die Partialsummen durch die Exponentialfunktion ersetzt und den Rest abchätzt.
Gruß Wauzi
Edit: Natürlich läßt sich obige Darstellung noch vereinfachen, werLust hat, kann es ja tun...
ThomasRichard
Senior Dabei seit: 08.04.2010 Mitteilungen: 424
Herkunft: Aachen
Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-02 12:25
Hallo Wauzi,
das sieht gut aus.
Die Summendarstellung lässt sich mit Hilfe der unvollständigen Gammafunktion vereinfachen:
\[-{\frac {{{\rm e}^{-2}} \left( \Gamma \left( n+2,-2 \right) +2\,\Gamma
\left( n+1,-2 \right) \right) }{2\,\Gamma \left( n+1 \right) }}+{
\frac {n}{2}}+{\frac{1}{2}}
\]
Besser als die hypergeometrische Funktion vorher...
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