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Universität/Hochschule J Hohlzylinder-Matrjoschka
cphysik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen, jedoch bin ich gerade ein bisschen überfordert und weiß nicht, wie ich überhaupt richtig starte, für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!



Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems auf. Drücken Sie dabei die Position des ersten Zylinders durch den Rollwinkel \(\phi_1\) aus. Für die Positionen der anderen beiden Zylinder verwenden Sie am besten Drehwinkel \(\phi_2\) und \(\phi_3\) relativ zur vertikalen Achse. Die skizzierte Ruhelage soll den Werten \(\phi_1= \phi_2 = \phi_3 = 0\) entsprechen. Ermitteln Sie die Eigendrehung der Zylinder mittels Rollbedingung.

Vielen dank im Vorraus, für eure Hilfe!



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20


Verstehe ich es richtig, dass Zylinder 1 ohne Schlupf auf der Ebene rollt, Zylinder 2 in Zylinder 1 und Zylinder 3 in Zylinder 2? Dann würde ich damit anfangen, die Positionen der Achsen in Abhängigkeit von den Rollwinkeln zu berechnen. Damit kann man schonmal die potentielle Energie ermitteln. Die Ableitung der Winkel und Positionen nach der Zeit liefert Winkelgeschwindigkeiten und Geschwindigkeiten, mit denen man die kinetische Energie berechnen kann.



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cphysik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20


Ja genau, du verstehst das richtig.

Meinst du mit "die Positionen der Achsen in Abhängigkeit von den Rollwinkeln zu berechnen", dass man sagt, Die Bahngeschwindigkeit, von Zylinder 1, ist \(v_1 = R_1 \cdot \dot{\phi_1}\) und nachdem Zylinder 2 in Zylinder 1 rollt, ist die Bahngeschwindigkeit \(v_2 = v_1 + R_2 \cdot \dot{\phi_2} \) usw. ?

Lg
cphysik



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20


2021-01-20 14:07 - cphysik in Beitrag No. 2 schreibt:
Meinst du mit "die Positionen der Achsen in Abhängigkeit von den Rollwinkeln zu berechnen", dass man sagt, Die Bahngeschwindigkeit, von Zylinder 1, ist \(v_1 = R_1 \cdot \dot{\phi_1}\) und nachdem Zylinder 2 in Zylinder 1 rollt, ist die Bahngeschwindigkeit \(v_2 = v_1 + R_2 \cdot \dot{\phi_2} \) usw. ?

Für den äußeren Zylinder stimmt das. Für den inneren ist es etwas komplizierter. Dort gilt für die Position

\(x_2  = x_1  - \left( {R_1  - R_2 } \right) \cdot \sin \left( {\phi _2 } \right)\)
\(y_2  = y_1  - \left( {R_1  - R_2 } \right) \cdot \cos \left( {\phi _2 } \right)\)

und entsprechend für die Geschwindigkeit

\(\dot x_2  = \dot x_1  - \dot \phi _2  \cdot \left( {R_1  - R_2 } \right) \cdot \cos \left( {\phi _2 } \right)\)
\(\dot y_2  = \dot y_1  + \dot \phi _2  \cdot \left( {R_1  - R_2 } \right) \cdot \sin \left( {\phi _2 } \right)\)

Die Positionen und Bewegungen der Achsen reichen aber noch nicht für die kinetische Energie. Die Zylinder rotieren zusätzlich noch um ihre Achsen. Die entsprechende Rotationsenergie muss auch berücksichtigt werden. Dazu musst Du herausfinden, wie die die Winkelgeschwindigkeit dieser Eigenrotation von der des jeweils äußeren Zylinders abhängt.




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