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Integration » Integration im IR^n » Voraussetzung für den Gauß'schen Integralsatz		Druckversion
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Universität/Hochschule Voraussetzung für den Gauß'schen Integralsatz
julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo zusammen,

Ich soll für die Menge $G:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 < 1, y \neq 0\}$ und $f=(f_1,f_2)^T: \bar{G} \to \mathbb{R}^2$ stetig und $f|_G$ stetig differenzierbar den Gauß'schen Integralsatz zeigen.
\[
\int_{G} \text{div}f(x)\; d\lambda(x) = \int_{\partial \circ G} \Lambda(y)^T f(y) \; d\mu(y)
\] Ich denke dass der Satz direkt aus einem anderen Integralsatz, den wir in der Vorlesung bereits bewiesen haben, folgt. Ich scheitere nur daran, eine Voraussetzung dieses Satzes zu überprüfen. Nämlich, dass die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ integrierbar sein müssen (in dem Fall muss ich die Grundmenge ja in eine obere und untere Hälfte aufspalten und die VS darauf überprüfen, ich bezeichne die obere Hälfte mit $G_1$).

Also ich muss zeigen/überprüfen, dass
\[
\int_{G_1} |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}| \; d \lambda < \infty
\] Kann mir hier jemand helfen oder einen Tipp geben?

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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23


Hallo julian2000P,
das würde ich in der Richtung versuchen, für eine auf \([a,b]\) stetige und in \((a,b)\) stetig differnzierbare Funktion \(f\) und ein beliebig kleines \(\varepsilon\) gilt

\(\displaystyle\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f'(x) \operatorname{d}x = f(b-\varepsilon) - f(a+\varepsilon)\).

Das Integral links existiert (LinkLebesgue-Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger) und die rechte Seite konvergiert gegen \(f(b)-f(a)\) wegen der Stetigkeit von \(f\) auf ganz \([a,b]\). Ich bin mir aber nicht sicher, ob da noch ein entscheidendes Detail fehlt, speziell wegen dem \(\operatorname{d}\lambda\).

Viele Grüẞe,
  Stefan


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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Hallo,

danke für deine Antwort und den Hinweis es mit dem Hauptsatz zu versuchen. Dann werde ich mir das ganze nochmal ansehen.

Grüße

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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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