Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Voraussetzung für den Gauß'schen Integralsatz
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Voraussetzung für den Gauß'schen Integralsatz
julian2000P
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 103
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo zusammen,

Ich soll für die Menge $G:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 < 1, y \neq 0\}$ und $f=(f_1,f_2)^T: \bar{G} \to \mathbb{R}^2$ stetig und $f|_G$ stetig differenzierbar den Gauß'schen Integralsatz zeigen.
\[
\int_{G} \text{div}f(x)\; d\lambda(x) = \int_{\partial \circ G} \Lambda(y)^T f(y) \; d\mu(y)
\] Ich denke dass der Satz direkt aus einem anderen Integralsatz, den wir in der Vorlesung bereits bewiesen haben, folgt. Ich scheitere nur daran, eine Voraussetzung dieses Satzes zu überprüfen. Nämlich, dass die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ integrierbar sein müssen (in dem Fall muss ich die Grundmenge ja in eine obere und untere Hälfte aufspalten und die VS darauf überprüfen, ich bezeichne die obere Hälfte mit $G_1$).

Also ich muss zeigen/überprüfen, dass
\[
\int_{G_1} |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}| \; d \lambda < \infty
\] Kann mir hier jemand helfen oder einen Tipp geben?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3832
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23


Hallo julian2000P,
das würde ich in der Richtung versuchen, für eine auf \([a,b]\) stetige und in \((a,b)\) stetig differnzierbare Funktion \(f\) und ein beliebig kleines \(\varepsilon\) gilt

\(\displaystyle\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f'(x) \operatorname{d}x = f(b-\varepsilon) - f(a+\varepsilon)\).

Das Integral links existiert (LinkLebesgue-Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger) und die rechte Seite konvergiert gegen \(f(b)-f(a)\) wegen der Stetigkeit von \(f\) auf ganz \([a,b]\). Ich bin mir aber nicht sicher, ob da noch ein entscheidendes Detail fehlt, speziell wegen dem \(\operatorname{d}\lambda\).

Viele Grüẞe,
  Stefan



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
julian2000P
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 103
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Hallo,

danke für deine Antwort und den Hinweis es mit dem Hauptsatz zu versuchen. Dann werde ich mir das ganze nochmal ansehen.

Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]