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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Lagrange-Multiplikator und Existenz der Extremalwerte
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Universität/Hochschule Lagrange-Multiplikator und Existenz der Extremalwerte
Math_user
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  Themenstart: 2021-01-21

Hallo zusammen Ich befasse mich aktuell mit den Lagrange Multiplikatoren und habe dabei das Problem zu beweisen, dass es überhaupt einen Extremalwert annimmt. Betrachten wir zum Beispiel folgendes einfache Beispiel: Sei folgende Funktion zu maximieren $f(x,y)=x^2+2y^2$ unter der Nebenbedingung $x+y=12$. Ich definieren also die Funktion der Nebenbedingung als $g(x,y):=x+y-12$. Stimmt nun folgende Argumentation: Sei $:=\{(x,y)\in \Bbb R^2\; \vert \; g(x,y)=0\}$. Wir haben für alle $(x,y) \in M$, dass gilt: x+y=12. Kann man nun, sagen, dass $M$ beschränkt ist? Da weiter $M$ als Urbild der abgeschlossenen Menge {0} unter der stetigen Funktion g abgeschlossen ist, würde folgen, dass $M$ kompakt ist und $f$ auf $M$ hätte als stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihre Extremalwerte..

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21

Zeiche dir einmal die Menge $M$ auf. Dann siehst du, dass $M$ natürlich nicht beschränkt ist. Übrigens sollst du nicht nur die Existenz der Extremalwerte beweisen, sondern diese Extremalwerte bestimmen. Und im Titel steht ja schon die Methode dafür. Was hast du damit probiert? Weil die Nebenbedingung hier aber so einfach, kannst du das Problem ganz leicht auf die Maximierung einer Funktion einer Variablen herunterbrechen.

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Math_user
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21

Dies ist nur ein einfaches Beispiel. Es geht mir nicht um das Rechnen dieses Beispiels, sondern um den Fakt, dass wir den Satz so definiert haben, dass er nur gilt, falls $f$ unter der Nebenbedingung ein lokale Extremalstelle annimmt. Sprich eigentlich sollte man dies immer zuerst testen bevor man den Satz anwenden kann...

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