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Schule J Wahrscheinlichkeit beim wiederholten Würfeln
Sokuban
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 22.01.2021
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-22


Hallo in die Runde! ...

Ich frage hier für ein Mädchen in der 8. Klasse, der ich bei den Hausaufgaben helfen will. Und ich bin perplex, was die in der 8. Klasse schon leisten sollen. Oder sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht? ... Könnt Ihr mir helfen?

Die Aufgabe lautet:



Vorüberlegung: Die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, müsste ja von Runde zu Runde steigen und sich dann irgendwann seinem Maximum nähern, was ein wenig über 0,5 liegen müsste. Oder?


Mein Ansatz scheint mir zu kompliziert und deshalb bin ich misstrauisch:
Ich würde ein Baumdiagramm malen und dann all die Pfade, wo A eine Sechs hat durchmultiplizieren und dann miteinander addieren.

Für a) sähe das dann so aus:

p=1/6 + 5/6*5/6*1/6 + 5/6*5/6*5/6*5/6*1/6 + 5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*1/6 + ...

Usw. bis 10 Summanden zusammen sind.
Aber das ist nur a) und das kann man doch nicht in der 8.Klasse erwarten? Gibt es noch einen einfacheren Weg.

Ich wäre für Eure Hilfe sehr dankbar!

Sonnige Grüsse!





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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6097
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-22


Hallo Sokuban und willkommen hier im Forum!

Dein Ansatz zur a) geht in die richtige Richtung, enthält jedoch noch einen Denkfehler. Mehr möchte ich jedoch an dieser Stelle noch nicht sagen, denn: ganz ehrlich, das ist keine Hausaufgabe in der 8. Klasse. Um was genau geht es hier also?


Gruß, Diophant



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3460
Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-22


Huhu Sokuban und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Danke für diese Aufgabe; ich verstehe Deine Verwunderung durchaus.
Natürlich habe ich die Aufgabe sogleich meiner Tochter (9. Klasse) vorgelegt*.

Nach etwa einer halben Stunde hatte sie zwar den Aufgabenteil mit einer fixen Rundenzahl (also hier 10) durch rohe Gewalt (aka Ecxeltabelle) gelöst; konnte jedoch den Teil, die Wahrscheinlichkeiten bei unendlicher Wiederholung zu bestimmen, nicht lösen.
Mit ein paar Hinweisen konnte sie dies dann zumindest für die Version [1] lösen und hat wohl** der (zugegeben herumgestocherten) Lösung von Version [3] durch die Mütter*** folgen können und sich dann schmunzelnd**** zurückgelehnt, als wir beide nach einer Viertelstunde und zahlreichen "Eins-Daneben-Fehlern" Version [2] durch ein kleines Computerprogramm gelöst haben...

Zusammengefasst: Ich halte es für völlig ausgeschlossen, dass diese Aufgabe eine normale Aufgabe für die 8. Klasse darstellen soll!

Möglicherweise ist die Aufgabe darstellbar, wenn "bzw." in der Aufgabenstellung einfach überlesen werden soll***** und lediglich die Gewinnwahrscheinlichkeiten für den Gewinn von A innerhalb von 10 Runden durch reinen Fleiss gelöst werden sollen.

Dann jedenfalls ist es natürlich möglich, die betreffende Wahrscheinlichkeit durch z.B. einen Baum zu bestimmen (auch für Schuler*innen).


Noch eine kurze Anmerkung:
2021-01-22 10:14 - Sokuban im Themenstart schreibt:
Vorüberlegung: Die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, müsste ja von Runde zu Runde steigen und sich dann irgendwann seinem Maximum nähern, was ein wenig über 0,5 liegen müsste. Oder?
Das ist natürlich so formal nicht korrekt; auch die (auf den bisherigen Verlauf des Spiels) bedingte Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, steigt nicht notwendig. In Version [1] ist es sogar ein probter Lösungsweg, auszunutzen, dass diese sich nicht verändert******. So kann man die Wahrscheinlichkeit $G$, dass A gewinnt also etwa durch Lösen von $G = \frac16 + \frac56 \cdot(\frac56 \cdot G) = \frac6{11}$ bestimmen.

lg, AK


*) sie liebt das Homeschooling nun noch mehr...
**) breit grinsend
***) die immerhin beide einen Hochschulabschluss in Mathematik haben
****) ein Euphemismus für "noch breiter grinsend"
*****) grammatikalisch ist das ohnehin ein Graus
******) Das Spiel ist technisch gesehen in dieser Version ein homogener Markovprozess


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Sokuban
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 22.01.2021
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Danke Diophant und AnnaKath für das schöne Willkommen! ... und dafür, dass Ihr alle und auch Eure Tochter, AnnaKath, Euch die Zeit genommen habt, auf die Aufgabe zu schauen! :-)

Und: Ja, ich bin auch perplex, aber es ist tatsächlich aus dem Mathe-Buch der 8.Klasse.

Falls Ihr mir nicht glaubt, hier ein Bild der ganzen Seite:



Na gut!

Hey AnnaKath, Du hast einen witzigen Schreibstil, ich musste so lachen! Herrlich!

Ja, na gut, dann lasst uns das "bzw." einfach ignorieren und nur die 10 Runden betrachten. Und es als Fleißaufgabe auffassen.

Aber Diophant, du meinst, ich habe da einen Denkfehler drin.
Hier ist mal der von mir gemalte Baum:



Wo liegt mein Fehler?


PS an AnnaKath:

Ja, meine Vorbetrachtung wahr falsch formuliert. Ich meinte, dass die Wahrscheinlichkeit von A, eine Sechs zu würfeln, während B keine wirft, von 1/6 langsam ansteigen wird auf knapp über 0,5. Spannend, dein Weg zu den 6/11 ! Wow!



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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2701
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-22


@AnnaKath:
Irgendwo hast du dich vertippt.
Dein (richtiges) Ergebnis passt nicht zur Rechnung.

Ich würde schreiben:
$G = p + (1-p)(1-G) \Rightarrow G = \frac{1}{2-p}$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6097
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-22


Hallo,

sorry, ich hatte mich da geirrt. Dein Ansatz für die a) ist schon richtig.

Das läuft ja hier alles auf geometrische Reihen bzw. im Fall der Aufgabe c) auf die !Ableitung! einer geometrischen Reihe. Von daher schluckt man schon ein weinig, wenn man das in einem 8.-Klasse-Schulbuch sieht...

Unser Misstrauen solchen Fragen gegenüber ist (leider) begründet durch die Tatsache, dass ab und an hier Teilnehmer von Wettbewerben versuchen, sich ihre Aufgaben lösen zu lassen. Und diese Versuche sind dann auch gerne in nett ausgedachte Geschichten eingepackt. Dein Foto ist aber natürlich Beleg genug dafür, dass dieses Misstrauen hier nicht angebracht ist.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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Herkunft: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-22


Es wäre echt interessant, zu erfahren, wie diese Aufgabe letztendlich in der Schule gelöst wird/wurde😲


-----------------
Bild



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3460
Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-22


@topic
Mit der vollständigen Aufgabenstllung im Blick fällt mir auf, dass hinter dem "bzw." wohl nur "B" fehlt und somit das Spiel natürlich doch schultauglich ist (da ja maximal 10 Runden gespielt werden).

---

Huhu lieber (gar nicht so sehr) Einfältiger,
2021-01-22 11:48 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 4 schreibt:
@AnnaKath:
Irgendwo hast du dich vertippt.
Dein (richtiges) Ergebnis passt nicht zur Rechnung.

Ich würde schreiben:
$G = p + (1-p)(1-G) \Rightarrow G = \frac{1}{2-p}$

Natürlich ist Deine Lösung richtig und beim Lösen der Aufgabe habe ich selbst ebenfalls so gerechnet; aber auch meine Formulierung aus #2 ist korrekt und soll die homogene Markovstruktur des Spiels demonstrieren: Die Kette beginnt mit Spieler A am Zug; dies ist natürlich zu reproduzieren um die Gewinnwahrscheinlichkeit aus der Markoveigenschaft zu berechnen. Gewinnt Spieler A also nicht mit seinem Zug (dafür steht der Summand $p$), was mit W'keit $(1-p)$ eintritt, so darf Spieler B ebenfalls nicht gewinnen (das gibt einen weiteren Faktor von $1-p$) um den Ausgangszustand "(Spiel läuft, A am Zug)" herzustellen, kurz: $G=p+(1-p)^2 G \rightarrow G=\frac6{11}$.

lg, AK



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Sokuban
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 22.01.2021
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Seid ganz herzlich bedankt, Ihr Lieben!

Wenn die Lehrerin irgendeinen anderen Vorschlag macht, als nur die brutale Fleißarbeit, dann lass ich es Euch wissen! ... ;-)



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Gerhardus
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Dabei seit: 22.09.2010
Mitteilungen: 395
Herkunft: Wetterau
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-22


Einen interessanten praktischen Hintergrund zu dieser Aufgabe präsentiert Christian Hesse im seinem Film "Ist Fußball berechenbar?", verfügbar in der Mediathek (tool mediathekview). Die drei Wechselmethoden stehen in einem Kontext.


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"Zu glauben, es gebe nur eine Wahrheit, ist von allen Illusionen die Gefährlichste." (Paul Watzlawick)



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viertel
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Mitteilungen: 27760
Herkunft: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Das
2021-01-22 10:14 - Sokuban im Themenstart schreibt:
p=1/6 + 5/6*5/6*1/6 + 5/6*5/6*5/6*5/6*1/6 + 5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*1/6 + ...
kann man tatsächlich ausrechnen, ohne alles hinschreiben (oder in den TR tippen) zu müssen.
\[p=\sum_{i=0}^{9}\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2i} \cdot \frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}\sum_{i=0}^{9}\left(\frac{25}{36}\right)^i=\frac{1}{6} \cdot \frac{1-\left(\frac{25}{36}\right)^{9+1}}{1-\frac{25}{36}}=\frac{323708273492941}{609359740010496} \approx 0.5312268800\] Nach der Summenformel ($0 \le p \le 1$), siehe Geometrische Summenformel
\[\sum_{i=0}^{n}p^i=\frac{1-p^{n+1}}{1-p}\] Woher ein 8.-Klässler diese Umformung und die Summenformel kennen soll bleibt allerdings unbeantwortet🤔
Also doch alles eintippen…
\(\endgroup\)


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Sokuban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Wow! Danke Viertel! ... das ist ja eine gute Lösung!

Ja, für die Achtklässlerin ist das noch nichts ...

Ich könnte mir evtl. auch noch vorstellen, dass vor allem bei der 2. und 3. Teilaufgabe dann, wo Summanden mit 5/6 hoch 20 (und mehr) drin vorkommen ... vom Schüler erwartet wird, dass er merkt, dass die das Ergebnis nicht mehr wirklich gross beeinflussen. ... Aber auch da muss man in der 8. Klasse erst mal drauf kommen.


PS: Gibt es irgendwo ein kurzes Tutorial, wie man die Syntax für so Klasse Formeln in seinen Posts benutzt?



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Maexinator
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-22


Diese Aufgaben in der Rubrik "im Blickpunkt" sind weiterführende Aufgaben, die über den eigentlichen Stoff hinaus gehen. Sie sind nur für sehr gute Schüler geeignet. Man sollte sie nicht als normale Hausaufgaben aufgeben. Höchstens als Zusatzaufgabe.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2021-01-22 23:11 - Sokuban in Beitrag No. 11 schreibt:
PS: Gibt es irgendwo ein kurzes Tutorial, wie man die Syntax für so Klasse Formeln in seinen Posts benutzt?
Das Stichwort dazu heißt $\LaTeX$ (LaTeX).
Es gibt hier auf dem Matheplaneten eine Arbeitsgruppe mit Einsteigerinformationen dazu. Aber da müßte wohl mal aufgeräumt/ausgemistet/aktualisiert werden.
\(\endgroup\)


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Sokuban
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23


Danke Viertel! ... und danke an alle hier!

:-)



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