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Universität/Hochschule J Absolute Konvergenz
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo liebe Freunde des Matheplaneten,

Ich bereite mich gerade auf meine Analysis 1-Klausur vor und habe bei der Einführung der Exponentialfunktion eine kleine Frage. Wir haben die Exponentialfunktion mit der Exponentialreihe eingeführt.
Um die Konvergenz dieser Reihe für alle $x\in \mathbb{R}$ zu zeigen, haben wir vorerst die Annahme $x\geq 0$ getroffen und konnten dann zeigen, dass die Reihe für solche $x$ konvergiert.

Wäre es nun in Ordnung zu sagen, dass die Exponentialreihe also absolut konvergiert und somit auch "normal" konvergiert für alle $x\in \mathbb{R}$?

Vielen Dank jetzt schon für eure Antworten.
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-22


Hi,

ja, das ist in Ordnung. (Woran zweifelst du?)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Kezer,

Meine Zweifel ergeben sich vor allem deswegen, weil wir ja anfänglich die Annahme $x\geq 0$ treffen. Wir zeigen dann die "normale" Konvergenz für diese Wahl von $x$ und können dann schliessen, dass die Reihe für $x\geq 0$ auch absolut konvergiert, da für $x\geq 0$ gilt $|x|=x$. Nun frage ich mich aber, ob wir dieses Ergebnis der absoluten Konvergenz auf alle $x\in \mathbb{R}$ verallgemeinern dürfen?
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hi,

vielleicht hilft es, das Argument nochmal genauer aufzuschreiben (das empfehle ich immer, wenn du dir irgendwo unsicher bist). Ich schreibe mal das Argument sehr ausführlich in anderen Worten auf.

Sei $x \in \mathbb R$. Wir wollen zeigen, dass $\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ konvergiert. Wenn wir zeigen können, dass die Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert sie auch, also genügt es zu zeigen, dass $\sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^n}{n!}$ konvergiert.

Hier sollte es wahrscheinlich schon klar sein, vielleicht hilft es aber noch mal $y = |x|$ umzubenennen. Es ist also zu zeigen, dass $\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} = \exp(y)$ konvergiert, wobei $y \geq 0$ ist. Das ist aber bereits bewiesen.


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