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 Harmonische Funktion als Realteil holomorpher Funktionen |
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Math_user
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Sei $u: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ eine harmonische, dann existiert eine holomorphe Funktion $f: \Bbb C \to \Bbb C$ s.d. $Re(f)=u$.
Als Hinweis soll man dabei die Cauchy Riemann DGL brauchen. Nun starre ich schon eine weile darauf und komme nicht weiter.
Nehmen wir z.B. an wir haben $f:= u_x + iu_y$. Dann gilt, da eine harmonische Funktion zweimal diff. ist und weil wir Schwarz benutzen könnnen folgendes:
$$f_y=u_{xy}-u_{yy}=u_{yx}+u_{xx}=if_x$$
Aber ich stecke fest. Vielen Dank für ein wenig Hilfe.
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Wally
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
wie kommst du auf \( f:= u_x + iu_y\)?
Wie wäre es mit \( f=u+iv\)?
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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Math_user
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22
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Ich kenne ja nur $u$, klar wäre $f=u+iv$ besser aber was ist dann $v$?
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Wally
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Überlege dir, wie du aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen \( v\) konstruieren kannst.
Noch ein Tipp: Warum gilt die Integrabilitätsbedingung?
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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Math_user
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22
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Ich versuche mal, folgendes:
Sei $u: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ harmonisch und $\bigtriangleup u=0$. Wir suchen $f: \Bbb C \to \Bbb C$ holomorphe s.d. $Re(f)=u$. Wir schreiben $f=u +iv$, wobei $u,v$ reelle Funktionen sind.
Die Cauchy-Riemann DGL geben uns:
$$u_x=v_y \\ u_y=-v_x$$
Wenn wir nun $v:= \int u_x dy$ definieren, dann sollte die erste DGL erfüllt sein aber für die zweite gilt es nicht mehr (ausser ich übersehe was).
Die Integrabilitätsbedingung sollte folgen, da $u$ ja zweimal partiell differenzierbar ist.
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Wally
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ich meine damit sowas: du hast jetzt Bedingungen für die Ableitungen von \( v\) nach \( x\) und \( y\). Aber gibt es so ein \( v\)? Welche Bedingungen muss ein Vektorfeld erfüllen, damit es eine Stammfunktion hat?
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Weshalb sollte es kein solches $v$ geben? Tut mir leid, ich sehe nicht auf was du hinaus willst? Auch zur zweiten Frage bin ich überfordert, da wir in diesem Kontext noch keine Vektorfelder betrachtet haben. Kannst du mir bitte ein wenig weiterhelfen?
Viele Grüsse
Math_user
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wally
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Dann blättere in deinem Skript mal ein bischen zurück :)
Du hast \( v_x=-u_y\) und \( v_y=u_x\). Welche Bedingung brauchst du, damit du daraus ein \( v\) bestimmen kannst, das beides erfüllt?
Damit du siehst, dass das nicht immer geht: Wie wäre \( v\) für \( v_x=y\) und \( v_y=-x\)? (Falls du ein Lösung bekommst, hast du dich verrechnet....)
Was hat "harmonisch" damit zu tun, dass in deiner Situation so was Blödes nicht passiert?
Fragen über Fragen, aber ich hoffe, die helfen dir.
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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