Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Maßtheorie » Nullmenge bzgl. wesentlicher Supremumsnorm
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Nullmenge bzgl. wesentlicher Supremumsnorm
Gast123
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-22


Hallo,

Ich möchte folgendes zeigen:
Sei X ein Maßraum und $f \in {\cal L}^{\infty}$.
Ich will zeigen, dass $M_{\|f\|_{\infty}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}\}$ eine Nullmenge ist.

Für $n \in \mathbb{N}$ gilt $M_{\|f\|_{\infty}} = \cup_{n} M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$.

Wobei $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}\}$.

Nun soll man zeigen dass $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$ eine Nullmenge ist woraus dann auch folgt, dass $M_{\|f\|_{\infty}}$ eine Nullmenge ist.

Mein Ansatz ist folgender:
$$(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \chi_{M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}} \leq |f(x)|$$
Wobei $\chi_{M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}}$ die charakteristische Funktion ist

Dann folgt:
$$(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}) = \int(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \chi_{M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}} d\mu \leq \int |f(x)| d\mu $$
Wenn dies nun endlich wäre, wäre ich fertig, denn dann hätte ich die Aussage: Für alle $\alpha = (\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \in \mathbb{R}$ gilt:
$$\alpha \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}) < \infty,$$
was ja nur wahr sein kann (für alle $\alpha \in \mathbb{R}$) falls $\mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})=0$

Mein Problem:
Der Term $\int |f(x)| d\mu $ ist nicht notwendig endlich. Muss ich mit meinem Beweis einen ganz anderen Ansatz finden (ich sollte es aber schon über die Teilmengen $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$ machen)?

Oder kann ich den Term in irgendeiner anderen Weise abschätzen damit ich herausfinde, dass $(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})$ endlich ist?

Hat jemand eine Idee?




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gast123
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23


Hat jemand eine Idee?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3779
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24


Hallo Gast123,
auch der Ansatz

2021-01-22 11:24 - Gast123 im Themenstart schreibt:
dass $(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})$ endlich ist?

würde nicht ausreichen, weil in der Aussage


Für alle $\alpha = (\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \in \mathbb{R}$ gilt:
$$\alpha \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}) < \infty,$$
was ja nur wahr sein kann (für alle $\alpha \in \mathbb{R}$) falls $\mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})=0$

das \(\alpha\) nicht alle reellen Zahlen durchläuft sondern nur welche kleiner \((\|f\|_{\infty}+1)\). Eine bessere Idee habe ich bis jetzt auch nicht.

Viele Grüẞe,
  Stefan



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1887
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-24


2021-01-22 11:24 - Gast123 im Themenstart schreibt:
Ich will zeigen, dass $M_{\|f\|_{\infty}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}\}$ eine Nullmenge ist.

Das folgt üblichwerweise direkt aus der Definition von $\|f\|_\infty$ als essentielles Supremum. Welche Definition verwendest du denn? (In deinem Startbeitrag scheint diese Definition merkwürdigerweise überhaupt nicht vorzukommen.)

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gast123
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Hallo,

danke für die Antworten.
Die Definition ist die folgende:
$\|f\|_{\infty}\ = \inf\{c \geq 0: \mu(\{x \in X: |f(x)| > c\})=0\}$.

1.) Kann man daraus schon ableiten, dass dann $M_{\|f\|_{\infty}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}\}$ eine Nullmenge ist?

2.) Ja ich habe auch nicht verstanden, was denn der Unterschied sein soll, ob man zeigt, dass $M_{\|f\|_{\infty}}$ eine Nullmenge ist oder dass man zeigt, dass $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}\}$ eine Nullmenge ist. Wieso würde sich da der Beweis überhaupt unterscheiden? (Ich versuche nur, den Weg über $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$ nachzuvollziehen, da dieser Weg im Lösungsvorschlag genommen wurde).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1887
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-25


2021-01-25 17:38 - Gast123 in Beitrag No. 4 schreibt:
$\|f\|_{\infty}\ = \inf\{c \geq 0: \mu(\{x \in X: |f(x)| > c\})=0\}$.

Aufgrund der Definition von $\|f\|_\infty$ als Infimum gibt es zu jedem $n>0$ eine Zahl $c_n$ mit $\|f\|_{\infty}\le c_n\le\|f\|_{\infty}+\frac1n$ und $\mu(\{x\in X:|f(x)|>c_n\})=0$. Also ist $M_{c_n}$ eine Nullmenge. Und wegen $M_{c_n}\supseteq M_{\|f\|_\infty+\frac1n}$ ist auch $M_{\|f\|_\infty+\frac1n}$ eine Nullmenge.

Jetzt kannst du mit deiner Überlegung $M_{\|f\|_{\infty}}=\bigcup_{n>0}M_{\|f\|_{\infty}+\frac1n}$ aus dem Startbeitrag weitermachen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gast123
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Hallo zippy,

vielen Dank für die Antwort. Also wenn ich das jetzt richtig sehe, sind ja die $M_{\|f\|_\infty+\frac1n}$ eine Ausschöpfung von $M_{\|f\|_\infty}$, d.h. man kann dann einfach die Ausschöpfungsformel anwenden: $\mu(M_{\|f\|_\infty})= \lim \mu(M_{\|f\|_\infty+\frac1n}) =0$.

Oder kann man einfach auch schon Argumentieren, dass eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1887
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-25


Das ist beides möglich.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gast123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]