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Autor |
Trägheitsmomente eines Quaders |
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Mandacus
Aktiv  Dabei seit: 29.10.2016 Mitteilungen: 183
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Hallo,
ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe bei denen es um die Trägheitsmomente eines Quaders geht.
Bei a) bekomme ich, da ich mich hier im Hauptachsensystem befinde, eine Diagonalmatrix der Form
$$
I=\begin{pmatrix}
\frac{m}{12} b^2 & 0 & 0 \\
0 & \frac{m}{12} a^2 & 0 \\
0 & 0 & \frac{m}{12} (a^2+b^2) \\
\end{pmatrix}
$$
Ich habe jetzt eine Frage zu b). Das neue Koordinatensystem ist ja um $\theta$ ggü. dem ursprünglichen Koordinatensystem gedreht. Ich habe mir nun folgendes überlegt. Ich betrachte die Drehmatrix
$$
S=\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
und die Transformation
$S I S^{-1}$.
Sei $\vec{n}$ der Einheitsvektor, der die $x'$-Achse aufspannt. Würde dann nicht $\vec{n}^T (S I S^{-1}) \vec{n}$ das gewünschte Trägheitsmoment liefern?
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3786
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24
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Hallo Mandacus,
dann musst du \(\vec{n}\) in Koordinaten des neuen Koordinatensystems einsetzen, was auf Ablesen eines Matrixeintrages hinausläuft. Du kannst auch schon im ursprünglichen Koordinatensystem \(\vec{n}^T I \vec{n}\) rechnen. Beide Berechnungsvarianten unterscheiden sich nur im unterschiedlichen Setzen der Klammern (\(\vec{e}\) soll Einheitsvektor in Richtung Koordinatenachse sein)
\(\vec{n} = S \vec{e}\),
\(S^T=S^{-1}\),
\(\vec{n}^T I \vec{n} = \left(S^{-1} \vec{e}\right)^T I \left(S^{-1} \vec{e}\right) = \vec{e}^T \left(S^{-1}\right)^{T} I S^{-1} \vec{e} = \vec{e}^T \left(S I S^{-1} \right) \vec{e}\)
Viele Grüße,
Stefan
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