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  Dimension bestimmen |
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Francesco
Aktiv 
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
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Guten Abend, ich sitze seit geraumer Zeit an einer vermeintlich einfachen Aufgabe. Ich soll $dim(U\cap V)$ bestimmen mit
$$
U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mid x_1+x_3=0=x_2+x_4\}
$$
und
$$
V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mid x_1+x_2=0\}
$$
Mein Ansatz wäre
$$
dim(U\cap V)=dim(x_1)=1,
$$
jedoch glaube ich das ich falsch liege bzw. den Schnitt schon falsch bilde. Kann mir da wer Helfen? Liebe Grüße
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Diophant
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23
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Hallo,
dein Resultat ist schon richtig. Die Begründung ist jedoch (für mich) nicht nachvollziehbar.
Was spricht denn eigentlich gegen ein LGS, bzw. die Berechnung des Kerns der zugehörigen Matrix?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]
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Francesco
Aktiv
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Mitteilungen: 21
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23
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2021-01-23 22:59 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
dein Resultat ist schon richtig. Die Begründung ist jedoch (für mich) nicht nachvollziehbar. Wie weißt du das mein Resultat richtig ist ohne das meine Begründung nachvollziehbar ist? Durch deine Vorschläge?
2021-01-23 22:59 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Was spricht denn eigentlich gegen ein LGS, bzw. die Berechnung des Kerns der zugehörigen Matrix?
Leider haben wir den Kern einer Matrix noch nicht wirklich behandelt und ich wüsste auch nicht welches LGS ich aufstellen könnte. 🤔
Als Hinweis haben wir bekommen, dass wir diese Aufgabe beinahe ohne Rechnung lösen können.
Liebe Grüße
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6585
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-23
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Hallo,
2021-01-23 23:04 - Francesco in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie weißt du das mein Resultat richtig ist ohne das meine Begründung nachvollziehbar ist? Durch deine Vorschläge?
Weil ich es beinahe ohne Rechnung gelöst habe... 😉
2021-01-23 23:04 - Francesco in Beitrag No. 2 schreibt:
...und ich wüsste auch nicht welches LGS ich aufstellen könnte. 🤔
Nun, U ist ja im Prinzip durch zwei Gleichungen gegeben (die in einer Gleichungskette zusammengefasst wurden). V ist durch eine Gleichung beschrieben.
Der Schnitt muss aber sicherlich alle drei Gleichungen erfüllen...
Gruß, Diophant
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Francesco
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23
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Der Schnitt muss aber sicherlich alle drei Gleichungen erfüllen...
Also reicht schon?:
Da $V$ durch $x_1+x_2=0$ und $U$ durch $x_1+x_3=0=x_2+x_3$ charakterisiert werden, muss der Schnitt $U\cap V$ folgendes Gleichungssystem erfüllen:
$$
\begin{array}{c}
x_1+x_3=0\\
x_2+x_4=0\\
x_1+x_2=0
\end{array}
$$
Dies ist jedoch nur der Fall, wenn $x_2,x_3,x_4=0$ und somit folgt:
$$
dim(U\cap V)=dim((x_1))=1
$$
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Diophant
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Mitteilungen: 6585
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-23
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Hallo,
nein. Du musst schon sauber die Lösungsmenge des LGS bestimmen (das LGS selbst ist richtig). Da es unterbestimmt ist, benötigt man dazu den einen oder anderen Parameter. Die Anzahl der benötigten Parameter ist die gesuchte Dimension...
Gruß, Diophant
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Francesco
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23
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Also, wenn ich mittels Gauß-Verfahren das LGS löse komme ich auf
$$
\begin{array}{rrrr|r}
1&1&0&0&0\\
0&-1&1&0&0\\
0&0&1&1&0
\end{array}
$$
und dann nach Umformen auf das Ergebnis
$$
x_1=x_4\\
x_2=-x_4\\
x_3=-x_4\\
x_4=x_4
$$
Ist nun, da alles von dem einem Parameter $x_4$ abhängt, die Dimesion gleich 1?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-24
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2021-01-23 23:44 - Francesco in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist nun, da alles von dem einem Parameter $x_4$ abhängt, die Dimesion gleich 1?
Man muss noch ergänzen, dass der Parameter auch beliebig gewählt werden kann. Zum Beispiel hängt beim Unterraum $\{(0,0,0,0)\}$ auch alles vom Parameter $x_4$ ab.
Aber anstatt hier mit solchen Worten zu arbeiten, die leicht falsch interpretiert werden können, ist es vielleicht besser, direkt die Basis $\{(1,-1,-1,1)\}$ von $U \cap V$ hinzuschreiben, womit die Dimension ja abgelesen werden kann.
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Francesco
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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